Lower bound for the canonical on Abelian varieties over totally $p$-adic extensions

Technische Zusammenfassung: Untergrenze für die kanonische Höhe auf abelschen Varietäten über total $p$-adischen Erweiterungen

Problemstellung
Die Arbeit befasst sich mit der Problemstellung, absolute Untergrenzen für die kanonische (Néron–Tate) Höhe von Nicht-Torsionspunkten auf abelschen Varietäten über Zahlenkörpern zu etablieren, insbesondere wenn diese Punkte in unendlichen algebraischen Erweiterungen liegen. Der zentrale Fokus liegt auf der Bogomolov-Eigenschaft, die besagt, dass die Menge der Nicht-Torsionspunkte in einer unendlichen Erweiterung $K$ eine strikt positive Untergrenze für ihre Höhe besitzt:
$$\liminf_{P \in A(K) \setminus A_{\text{tor}}(K)} \hat{h}(P) > 0.$$
Während diese Eigenschaft für reelle Körper (Zhang), maximale abelsche Erweiterungen (Baker–Silverman) und bestimmte total-$v$-adische Körper im Fall der totalen Degeneration (Gubler) bekannt ist, blieb eine allgemeine Untergrenze für total-$p$-adische Erweiterungen im Fall der guten Reduktion für höherdimensionale abelsche Varietäten eine offene Frage. Insbesondere adressiert der Autor eine von V. Dimitrov aufgeworfene Frage zur Bogomolov-Eigenschaft für total-$p$-adische Punkte von abelschen Varietäten mit guter Reduktion bei $p$.

Methodik
Der Beweis verwendet eine geometrische Adaption von Techniken aus der transzendentalen Zahlentheorie, spezifisch die Hilfsfunktionmethode kombiniert mit Nullschätzungen. Die Kernstrategie umfasst die folgenden Schritte:

1. Reduktion auf einfache Varietäten: Unter Verwendung des Poincaréschen Vollreduzierbarkeitssatzes wird das Problem auf den Fall reduziert, in dem die abelsche Varietät $A$ geometrisch einfach und der Linienbündel $L$ sehr steif (very ample) ist.
2. Konstruktion einer Hilfssektion: Der Autor konstruiert eine nicht-verschwindende Hilfssektion $F$ im Raum der globalen Sektionen $\Gamma(A \times A, M \otimes L)$ (wobei $M = L \boxtimes L$) unter Verwendung von Siegels Lemma. Diese Sektion ist so konzipiert, dass sie in einer hohen Ordnung $T_0$ am Ursprung der abelschen Varietät verschwindet. Die Koeffizienten von $F$ werden so gewählt, dass sie eine kleine Höhe aufweisen.
3. Höhenschätzungen und Liouville-Ungleichung: Für einen Punkt $P \in A(K)$ analysiert die Arbeit die Werte von $F$ und deren Ableitungen an $P$. Wenn $P$ modulo vieler Stellen einer spezifischen Norm $q$ gegen die Identität reduziert, sind die lokalen Werte der Ableitungen klein. Umgekehrt liefert, falls die globale Höhe von $P$ klein ist, die Liouville-Ungleichung eine Untergrenze für das Produkt dieser lokalen Werte.
4. Nullschätzungen (Philippons Theorem): Um zu verhindern, dass die Hilfsfunktion $F$ auf zu vielen Punkten mit kleiner Höhe verschwindet, wendet der Autor Philippons Nullschätzung an. Dieses Theorem begrenzt die Anzahl der Nullstellen einer Sektion, die entlang einer algebraischen Untervarietät mit einer bestimmten Ordnung verschwindet. Da $A$ als einfach vorausgesetzt wird, ist jede echte algebraische Untergruppe trivial, was erzwingt, dass die Nullmenge endlich und kontrollierbar ist.
5. Parameterwahl: Der Beweis beinhaltet eine delikate Abstimmung der Parameter: den Grad $L$ der Sektion, die Verschwindungsordnung $T_0$ und die Ordnung der ersten nicht-verschwindenden Ableitung $T_f$. Diese werden optimiert, um einen Widerspruch abzuleiten, falls die Menge der Punkte mit einer unterhalb eines gewissen Schwellenwerts liegenden Höhe unendlich ist.

Hauptergebnisse
Die Arbeit etabliert die folgenden Haupttheoreme:

• Theorem 1.1 (Total-$p$-adische Erweiterungen): Es existiert eine endliche Menge von Primzahlen $\mathcal{P}$, sodass für jede asymptotisch positive Erweiterung $K/\mathbb{Q}$ mit $\psi_{p^f} > 0$ für $p \notin \mathcal{P}$ die kanonische Höhe die folgende Bedingung erfüllt:
  $$\liminf_{P \in A(K)} \hat{h}(P) \geq C(A, K) \frac{\psi_{p^f} \log(p^f)}{(p^f)^{2g}}.$$
  Hierbei misst $\psi_q$ die Dichte der Primideale der Norm $q$ in der Erweiterung.

• Korollar 1.2 (Maximale total-$p$-adische Erweiterung): Für die maximale total-$p$-adische Erweiterung $\mathbb{Q}(p)$ gilt für fast alle Primzahlen $p$:
  $$\liminf_{P \in A(\mathbb{Q}(p))} \hat{h}(P) \geq C(A) \frac{\log p}{p^{2g}}.$$
  Dies bestätigt die Bogomolov-Eigenschaft für $A(\mathbb{Q}(p))$ im Fall der guten Reduktion.

• Theorem 1.3 (Allgemeine asymptotisch positive Erweiterungen): Für eine allgemeine unendliche Erweiterung $K/K$, die asymptotisch positiv ist, ist die Untergrenze eine Summe über alle relevanten Primzahlpotenzen:
  $$\liminf_{P \in A(K)} \hat{h}(P) \geq C'(A, K) \sum_{q=p^k, p \notin \mathcal{P}} \psi_q \frac{\log q}{q^{2g}}.$$

Bedeutung und Ansprüche
Die Arbeit beansprucht, die erste Instanz zu liefern, in der die Bogomolov-Eigenschaft für total-$p$-adische Punkte einer abelschen Varietät im Fall der guten Reduktion etabliert wird. Vorherige Ergebnisse von Gubler deckten den total-degenerierten Fall ab, und Ergebnisse von Chambert-Loir etablierten die Eigenschaft nur für eine Zariski-dichte offene Teilmenge im Fall der guten Reduktion.

Der Autor betont, dass das Ergebnis signifikant ist, weil es:

1. Eine spezifische Frage beantwortet, die von V. Dimitrov aufgeworfen wurde.
2. Das Verständnis der Bogomolov-Eigenschaft auf höherdimensionale abelsche Varietäten ($g > 1$) in nicht-Galois-Settings (asymptotisch positive Erweiterungen) erweitert.
3. Eine explizite Untergrenze liefert, die von dem lokalen Verhalten der Erweiterung (via $\psi_q$) und der Dimension der Varietät abhängt, wobei die Beiträge aller Stellen in die Schranke einfließen.

Die Arbeit baut auf den fundamentalen Äquidistributionstheoremen von Szpiro-Ullmo-Zhang und den Techniken der Hilfsfunktionen von David und Hindry auf und adaptiert diese an die spezifischen arithmetischen Beschränkungen von total-$p$-adischen Körpern.