Lower bound for the canonical on Abelian varieties over totally $p$-adic extensions

Resumo Técnico: Limite Inferior para a Altura Canônica em Variedades Abelianas sobre Extensões Totalmente $p$-ádicas

Enunciado do Problema
O artigo aborda o problema de estabelecer limites inferiores absolutos para a altura canônica (Néron–Tate) de pontos não-torsores em variedades abelianas definidas sobre corpos numéricos, especificamente quando esses pontos residem em extensões algébricas infinitas. O foco central é a propriedade de Bogomolov, que afirma que o conjunto de pontos não-torsores em uma extensão infinita $K$ possui um limite inferior estritamente positivo para sua altura:
$$\liminf_{P \in A(K) \setminus A_{\text{tor}}(K)} \hat{h}(P) > 0.$$
Embora essa propriedade seja conhecida para corpos totalmente reais (Zhang), extensões abelianas máximas (Baker–Silverman) e certos campos totalmente $v$-ádicos no caso totalmente degenerado (Gubler), um limite inferior geral para extensões totalmente $p$-ádicas no caso de boa redução para variedades abelianas de dimensão superior permanecia como uma questão em aberto. Especificamente, o autor aborda uma questão proposta por V. Dimitrov referente à propriedade de Bogomolov para pontos totalmente $p$-ádicos de variedades abelianas com boa redução em $p$.

Metodologia
A prova emprega uma adaptação geométrica de técnicas da teoria dos números transcendentais, especificamente o método da função auxiliar combinado com estimativas de zeros. A estratégia central envolve as seguintes etapas:

1. Redução a Variedades Simples: Utilizando o teorema da reducibilidade completa de Poincaré, o problema é reduzido ao caso onde a variedade abeliana $A$ é geometricamente simples e o feixe de linha $L$ é muito amplo.
2. Construção de uma Seção Auxiliar: O autor constrói uma seção auxiliar não nula $F$ no espaço das seções globais $\Gamma(A \times A, M \otimes L)$ (onde $M = L \boxtimes L$) usando o Lema de Siegel. Esta seção é projetada para anular-se até uma ordem alta $T_0$ na origem da variedade abeliana. Os coeficientes de $F$ são escolhidos para possuírem altura pequena.
3. Estimativas de Altura e Desigualdade de Liouville: Para um ponto $P \in A(K)$, o artigo analisa o valor de $F$ e de suas derivadas em $P$. Se $P$ reduz-se à identidade módulo muitas places de uma norma $q$ específica, os valores locais das derivadas são pequenos. Inversamente, se a altura global de $P$ é pequena, a desigualdade de Liouville fornece um limite inferior para o produto desses valores locais.
4. Estimativa de Zeros (Teorema de Philippon): Para evitar que a função auxiliar $F$ se anule em muitos pontos de altura pequena, o autor aplica a estimativa de zeros de Philippon. Este teorema limita o número de zeros de uma seção que se anula até uma certa ordem ao longo de uma subvariedade. Crucialmente, como $A$ é assumida simples, qualquer subgrupo algébrico próprio é trivial, forçando o conjunto de zeros a ser finito e controlado.
5. Seleção de Parâmetros: A prova envolve um delicado equilíbrio de parâmetros: o grau $L$ da seção, a ordem de anulação $T_0$ e a ordem da primeira derivada não nula $T_f$. Estes são otimizados para derivar uma contradição caso o conjunto de pontos com altura abaixo de um certo limiar seja infinito.

Resultados Principais
O artigo estabelece os seguintes teoremas principais:

• Teorema 1.1 (Extensões Totalmente $p$-ádicas): Existe um conjunto finito de primos $\mathcal{P}$ tal que, para qualquer extensão assintoticamente positiva $K/\mathbb{Q}$ com $\psi_{p^f} > 0$ para $p \notin \mathcal{P}$, a altura canônica satisfaz:
  $$\liminf_{P \in A(K)} \hat{h}(P) \geq C(A, K) \frac{\psi_{p^f} \log(p^f)}{(p^f)^{2g}}.$$
  Aqui, $\psi_q$ mede a densidade de ideais primos de norma $q$ na extensão.

• Corolário 1.2 (Extensão Totalmente $p-ádica$ Máxima): Para a extensão maximalmente totalmente $p$-ádica $\mathbb{Q}(p)$, para todos os primos $p$ exceto um conjunto finito:
  $$\liminf_{P \in A(\mathbb{Q}(p))} \hat{h}(P) \geq C(A) \frac{\log p}{p^{2g}}.$$
  Isso confirma a propriedade de Bogomolov para $A(\mathbb{Q}(p))$ no caso de boa redução.

• Teorema 1.3 (Extensões Assintoticamente Positivas Gerais): Para uma extensão geral infinita $K/K$ que é assintoticamente positiva, o limite inferior é uma soma sobre todas as potências de primos relevantes:
  $$\liminf_{P \in A(K)} \hat{h}(P) \geq C'(A, K) \sum_{q=p^k, p \notin \mathcal{P}} \psi_q \frac{\log q}{q^{2g}}.$$

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer o primeiro caso onde a propriedade de Bogomolov é estabelecida para pontos totalmente $p$-ádicos de uma variedade abeliana no caso de boa redução. Resultados anteriores de Gubler cobriram o caso totalmente degenerado, e resultados de Chambert-Loir estabeleceram a propriedade apenas para um subconjunto aberto denso em Zariski no caso de boa redução.

O autor enfatiza que o resultado é significativo porque:

1. Responde a uma questão específica levantada por V. Dimitrov.
2. Estende a compreensão da propriedade de Bogomolov para variedades abelianas de dimensão superior ($g > 1$) em configurações não-Galois (extensões assintoticamente positivas).
3. Fornece um limite inferior explícito que depende do comportamento local da extensão (via $\psi_q$) e da dimensão da variedade, combinando contribuições de todas as places no limite.

O trabalho baseia-se nos teoremas fundamentais de equidistribuição de Szpiro-Ullmo-Zhang e nas técnicas de função auxiliar de David e Hindry, adaptando-os às restrições aritméticas específicas de corpos totalmente $p$-ádicos.