Lower bound for the canonical on Abelian varieties over totally $p$-adic extensions

Résumé Technique : Borne Inférieure pour la Hauteur Canonique sur les Variétés Abéliennes sur des Extensions Totalement $p$-adiques

Énoncé du Problème
L'article traite du problème consistant à établir des bornes inférieures absolues pour la hauteur canonique (Néron–Tate) des points de non-torsion sur des variétés abéliennes définies sur des corps de nombres, spécifiquement lorsque ces points résident dans des extensions algébriques infinies. Le point central est la propriété de Bogomolov, qui affirme que l'ensemble des points de non-torsion dans une extension infinie $K$ possède une borne inférieure strictement positive pour leur hauteur :
$$\liminf_{P \in A(K) \setminus A_{\text{tor}}(K)} \hat{h}(P) > 0.$$
Bien que cette propriété soit connue pour les corps totalement réels (Zhang), les extensions abéliennes maximales (Baker–Silverman) et certains corps totalement $v$-adiques dans le cas totalement dégénéré (Gubler), une borne inférieure générale pour les points totalement $p$-adiques dans le cas de bonne réduction pour les variétés abéliennes de dimension supérieure est restée une question ouverte. Plus précisément, l'auteur répond à une question posée par V. Dimitrov concernant la propriété de Bogomolov pour les points totalement $p$-adiques de variétés abéliennes possédant une bonne réduction en $p$.

Méthodologie
La preuve emploie une adaptation géométrique des techniques de la théorie des nombres transcendants, plus précisément la méthode de la fonction auxiliaire combinée aux estimations de zéros. La stratégie centrale comprend les étapes suivantes :

1. Réduction aux Variétés Simples : En utilisant le théorème de réductibilité complète de Poincaré, le problème est réduit au cas où la variété abélienne $A$ est géométriquement simple et le fibré en droites $L$ est très ample.
2. Construction d'une Section Auxiliaire : L'auteur construit une section auxiliaire non nulle $F$ dans l'espace des sections globales $\Gamma(A \times A, M \otimes L)$ (où $M = L \boxtimes L$) en utilisant le lemme de Siegel. Cette section est conçue pour s'annuler à un ordre $T_0$ élevé à l'origine de la variété abélienne. Les coefficients de $F$ sont choisis pour avoir une faible hauteur.
3. Estimations de Hauteur et Inégalité de Liouville : Pour un point $P \in A(K)$, le papier analyse la valeur de $F$ et de ses dérivées en $P$. Si $P$ se réduit à l'identité modulo de nombreuses places d'une norme $q$ spécifique, les valeurs locales des dérivées sont petites. Inversement, si la hauteur globale de $P$ est petite, l'inégalité de Liouville fournit une borne inférieure sur le produit de ces valeurs locales.
4. Estimations de Zéros (Théorème de Philippon) : Pour empêcher la fonction auxiliaire $F$ de s'annuler sur trop de points de faible hauteur, l'auteur applique l'estimation de zéro de Philippon. Ce théorème limite le nombre de zéros d'une section s'annulant à un certain ordre le long d'une sous-variété. Crucialement, comme $A$ est supposée simple, tout sous-groupe algébrique propre est trivial, forçant l'ensemble des zéros à être fini et contrôlé.
5. Sélection des Paramètres : La preuve implique un équilibre délicat des paramètres : le degré $L$ de la section, l'ordre d'annulation $T_0$, et l'ordre de la première dérivée non nulle $T_f$. Ceux-ci sont optimisés pour dériver une contradiction si l'ensemble des points dont la hauteur est inférieure à un certain seuil est infini.

Résultats Clés
Le papier établit les théorèmes principaux suivants :

• Théorème 1.1 (Extensions Totalement $p$-adiques) : Il existe un ensemble fini de nombres premiers $\mathcal{P}$ tel que pour toute extension asymptotiquement positive $K/\mathbb{Q}$ avec $\psi_{p^f} > 0$ pour $p \notin \mathcal{P}$, la hauteur canonique satisfait :
  $$\liminf_{P \in A(K)} \hat{h}(P) \geq C(A, K) \frac{\psi_{p^f} \log(p^f)}{(p^f)^{2g}}.$$
  Ici, $\psi_q$ mesure la densité des idéaux premiers de norme $q$ dans l'extension.

• Corollaire 1.2 (Extension Maximalement Totalement $p$-adique) : Pour l'extension maximalement totalement $p$-adique $\mathbb{Q}(p)$, pour tous les nombres premiers $p$ sauf un nombre fini :
  $$\liminf_{P \in A(\mathbb{Q}(p))} \hat{h}(P) \geq C(A) \frac{\log p}{p^{2g}}.$$
  Ceci confirme la propriété de Bogomolov pour $A(\mathbb{Q}(p))$ dans le cas de bonne réduction.

• Théorème 1.3 (Extensions Générales Asymptotiquement Positives) : Pour une extension générale infinie $K/K$ qui est asymptotiquement positive, la borne inférieure est une somme sur toutes les puissances de nombres premiers pertinentes :
  $$\liminf_{P \in A(K)} \hat{h}(P) \geq C'(A, K) \sum_{q=p^k, p \notin \mathcal{P}} \psi_q \frac{\log q}{q^{2g}}.$$

Signification et Revendications
Le papier prétend fournir la première occurrence où la propriété de Bogomolov est établie pour les points totalement $p$-adiques d'une variété abélienne dans le cas de bonne réduction. Les résultats précédents de Gubler couvraient le cas totalement dégénéré, et les résultats de Chambert-Loir n'établissaient la propriété que pour un sous-ensemble ouvert dense au sens de Zariski dans le cas de bonne réduction.

L'auteur souligne que le résultat est significatif car :

1. Il répond à une question spécifique soulevée par V. Dimitrov.
2. Il étend la compréhension de la propriété de Bogomolov aux variétés abéliennes de dimension supérieure ($g > 1$) dans des contextes non galoisiens (extensions asymptotiquement positives).
3. Il fournit une borne inférieure explicite qui dépend du comportement local de l'extension (via $\psi_q$) et de la dimension de la variété, combinant les contributions de toutes les places dans la borne.

Le travail s'appuie sur les théorèmes fondamentaux d'équidistribution de Szpiro-Ullmo-Zhang et sur les techniques de fonctions auxiliaires de David et Hindry, en les adaptant aux contraintes arithmétiques spécifiques des corps totalement $p$-adiques.