Lower bound for the canonical on Abelian varieties over totally $p$-adic extensions

Sintesi Tecnica: Limite Inferiore per l'Altezza Canonica su Varietà Abeliane su Estensioni Totalmente $p$-adiche

Enunciato del Problema
Il saggio affronta il problema di stabilire limiti inferiori assoluti per l'altezza canonica (Néron–Tate) di punti non torsionali su varietà abeliane definite su campi numerici, specificamente quando tali punti risiedono in estensioni algebriche infinite. Il focus centrale è la proprietà di Bogomolov, la quale asserisce che l'insieme dei punti non torsionali in un'estensione infinita $K$ possiede un limite inferiore strettamente positivo per la loro altezza:
$$\liminf_{P \in A(K) \setminus A_{\text{tor}}(K)} \hat{h}(P) > 0.$$
Sebbene tale proprietà sia nota per i campi totalmente reali (Zhang), per le estensioni massimali abeliane (Baker–Silverman) e per certi campi totalmente $v$-adici nel caso totalmente degenere (Gubler), un limite inferiore generale per le estensioni totalmente $p$-adiche nel caso di buona riduzione per varietà abeliane di dimensione superiore rimaneva una questione aperta. Nello specifico, l'autore affronta una domanda posta da V. Dimitrov riguardante la proprietà di Bogomolov per i punti totalmente $p$-adici di varietà abeliane con buona riduzione in $p$.

Metodologia
La dimostrazione impiega un adattamento geometrico delle tecniche della teoria dei numeri trascendentiali, nello specifico il metodo della funzione ausiliaria combinato con le stime sugli zeri. La strategia centrale prevede i seguenti passaggi:

1. Riduzione a Varietà Semplici: Utilizzando il teorema di riducibilità completa di Poincaré, il problema viene ridotto al caso in cui la varietà abeliana $A$ sia geometricamente semplice e il fibrato lineare $L$ sia molto ampio.
2. Costruzione di una Sezione Ausiliaria: L'autore costruisce una sezione ausiliaria non nulla $F$ nello spazio delle sezioni globali $\Gamma(A \times A, M \otimes L)$ (dove $M = L \boxtimes L$) utilizzando il Lemma di Siegel. Questa sezione è progettata per annullarsi con un alto ordine $T_0$ nell'origine della varietà abeliana. I coefficienti di $F$ sono scelti affinché abbiano un'altezza piccola.
3. Stime sull'Altezza e Disuguaglianza di Liouville: Per un punto $P \in A(K)$, il saggio analizza il valore di $F$ e delle sue derivate in $P$. Se $P$ si riduce all'identità modulo molti luoghi di una specifica norma $q$, i valori locali delle derivate sono piccoli. Viceversa, se l'altezza globale di $P$ è piccola, la disuguaglianza di Liouville fornisce un limite inferiore sulla produzione di questi valori locali.
4. Stime sugli Zeri (Teorema di Philippon): Per impedire che la funzione ausiliaria $F$ si annulli su troppi punti di piccola altezza, l'autore applica la stima sugli zeri di Philippon. Questo teorema limita il numero di zeri di una sezione che si annulla con un certo ordine lungo una sottovarietà. Fondamentalmente, poiché $A$ è assunta essere semplice, ogni sottogruppo algebrico proprio è banale, costringendo l'insieme degli zeri a essere finito e controllato.
5. Selezione dei Parametri: La dimostrazione comporta una delicata selezione dei parametri: il grado $L$ della sezione, l'ordine di annullamento $T_0$ e l'ordine della prima derivata non nulla $T_f$. Questi vengono ottimizzati per derivare una contraddizione qualora l'insieme dei punti con altezza al di sotto di una certa soglia fosse infinito.

Risultati Chiave
Il saggio stabilisce i seguenti teoremi principali:

• Teorema 1.1 (Estensioni Totalmente $p$-adiche): Esiste un insieme finito di numeri primi $\mathcal{P}$ tale che per ogni estensione asintoticamente positiva $K/\mathbb{Q}$ con $\psi_{p^f} > 0$ per $p \notin \mathcal{P}$, l'altezza canonica soddisfa:
  $$\liminf_{P \in A(K)} \hat{h}(P) \geq C(A, K) \frac{\psi_{p^f} \log(p^f)}{(p^f)^{2g}}.$$
  Qui $\psi_q$ misura la densità degli ideali primi di norma $q$ nell'estensione.

• Corollario 1.2 (Massima Estensione Totalmente $p$-adica): Per la massima estensione totalmente $p$-adica $\mathbb{Q}(p)$, per tutti i numeri primi $p$ tranne un numero finito di essi:
  $$\liminf_{P \in A(\mathbb{Q}(p))} \hat{h}(P) \geq C(A) \frac{\log p}{p^{2g}}.$$
  Ciò conferma la proprietà di Bogomolov per $A(\mathbb{Q}(p))$ nel caso di buona riduzione.

• Teorema 1.3 (Estensioni Generali Asintoticamente Positive): Per una generica estensione infinita $K/K$ che sia asintoticamente positiva, il limite inferiore è una somma su tutte le potenze di primi rilevanti:
  $$\liminf_{P \in A(K)} \hat{h}(P) \geq C'(A, K) \sum_{q=p^k, p \notin \mathcal{P}} \psi_q \frac{\log q}{q^{2g}}.$$

Significato e Rivendicazioni
Il saggio rivendica di fornire il primo caso in cui la proprietà di Bogomolov viene stabilita per i punti totalmente $p$-adici di una varietà abeliana nel caso di buona riduzione. I risultati precedenti di Gubler coprivano il caso totalmente degenere, mentre i risultati di Chambert-Loir stabilivano la proprietà solo per un sottoinsieme denso in senso di Zariski nel caso di buona riduzione.

L'autore sottolinea che il risultato è significativo perché:

1. Risponde a una specifica domanda sollevata da V. Dimitrov.
2. Estende la comprensione della proprietà di Bogomolov a varietà abeliane di dimensione superiore ($g > 1$) in contesti non Galois (estensioni asintoticamente positive).
3. Fornisce un limite inferiore esplicito che dipende dal comportamento locale dell'estensione (tramite $\psi_q$) e dalla dimensione della varietà, combinando i contributi di tutti i luoghi nella stima.

Il lavoro si basa sui fondamentali teoremi di equidistribuzione di Szpiro-Ullmo-Zhang e sulle tecniche di funzioni ausiliarie di David e Hindry, adattandoli ai vincoli aritmetici specifici dei campi totalmente $p$-adici.