Lower bound for the canonical on Abelian varieties over totally $p$-adic extensions

Technische Samenvatting: Ondergrens voor de canonieke hoogte op abelse variëteiten over totaal $p$-adische uitbreidingen

Probleemstelling
Het artikel behandelt het probleem van het vaststellen van absolute ondergrenzen voor de canonieke (Néron–Tate) hoogte van niet-torsiepunten op abelse variëteiten gedefinieerd over getalvelden, specifiek wanneer deze punten liggen in oneindige algebraische uitbreidingen. De centrale focus ligt op de Bogomolov-eigenschap, die stelt dat de verzameling niet-torsiepunten in een oneindige uitbreiding $K$ een strikt positieve ondergrens heeft voor hun hoogte:
$$\liminf_{P \in A(K) \setminus A_{\text{tor}}(K)} \hat{h}(P) > 0.$$
Hoewel deze eigenschap bekend is voor totaal reële velden (Zhang), maximale abelse uitbreidingen (Baker–Silverman) en bepaalde totaal $v$-adische velden in het totaal gedegenereerde geval (Gubler), bleef een algemene ondergrens voor totaal $p$-adische uitbreidingen in het geval van goede reductie voor hogere-dimensionale abelse variëteiten een open vraag. Specifiek adresseert de auteur een vraag gesteld door V. Dimitrov betreffende de Bogomolov-eigenschap voor totaal $p$-adische punten van abelse variëteiten met goede reductie bij $p$.

Methodologie
Het bewijs maakt gebruik van een geometrische adaptatie van technieken uit de transcendente getallentheorie, specifiek de methode van de hulpfunctie gecombineerd met nul-schattingen. De kernstrategie omvat de volgende stappen:

1. Reductie naar eenvoudige variëteiten: Met behulp van de volledige reductiestelling van Poincaré wordt het probleem gereduceerd tot het geval waarbij de abelse variëteit $A$ geometrisch simpel is en de lijnbundel $L$ zeer amppel is.
2. Constructie van een hulpsectie: De auteur construeert een niet-nulweende hulpsectie $F$ in de ruimte van globale secties $\Gamma(A \times A, M \otimes L)$ (waarbij $M = L \boxtimes L$) met behulp van Siegel's Lemma. Deze sectie is ontworpen om tot een hoge orde $T_0$ te verdwijnen in de oorsprong van de abelse variëteit. De coëfficiënten van $F$ worden gekozen met een kleine hoogte.
3. Hoogteschattingen en Liouville's ongelijkheid: Voor een punt $P \in A(K)$ analyseert het artikel de waarde van $F$ en zijn afgeleiden bij $P$. Als $P$ reduceert tot de identiteit modulo vele plaatsen van een specifieke norm $q$, zijn de lokale waarden van de afgeleiden klein. Omgekeerd, als de globale hoogte van $P$ klein is, biedt Liouville's ongelijkheid een ondergrens op het product van deze lokale waarden.
4. Nul-schattingen (Philippon's Stelling): Om te voorkomen dat de hulpfunctie $F$ op te veel punten met een kleine hoogte verdwijnt, past de auteur de nul-schatting van Philippon toe. Deze stelling begrenst het aantal nulpunten van een sectie die tot een bepaalde orde verdwijnt langs een subvariëteit. Cruciaal is dat, omdat $A$ als simpel wordt verondersteld, elke eigen algebraïsche subgroep triviaal is, wat de nulverzameling eindig en beheersbaar maakt.
5. Parameterselectie: Het bewijs omvat een delicate balans van parameters: de graad $L$ van de sectie, de orde van verdwijning $T_0$, en de orde van de eerste niet-nulweende afgeleide $T_f$. Deze worden geoptimaliseerd om een tegenspraak af te leiden indien de verzameling punten met een hoogte onder een bepaalde drempel oneindig is.

Belangrijkste Resultaten
Het artikel stelt de volgende hoofdtheorema's vast:

• Theorem 1.1 (Totaal $p$-adische Uitbreidingen): Er bestaat een eindige verzameling priemgetallen $\mathcal{P}$ zodanig dat voor elke asymptotisch positieve uitbreiding $K/\mathbb{Q}$ met $\psi_{p^f} > 0$ voor $p \notin \mathcal{P}$, de canonieke hoogte voldoet aan:
  $$\liminf_{P \in A(K)} \hat{h}(P) \geq C(A, K) \frac{\psi_{p^f} \log(p^f)}{(p^f)^{2g}}.$$
  Hierbij meet $\psi_q$ de dichtheid van priemidealen met norm $q$ in de uitbreiding.

• Corollary 1.2 (Maximale Totaal $p$-adische Uitbreiding): Voor de maximale totaal $p$-adische uitbreiding $\mathbb{Q}(p)$, voor alle behalve eindig veel priemgetallen $p$:
  $$\liminf_{P \in A(\mathbb{Q}(p))} \hat{h}(P) \geq C(A) \frac{\log p}{p^{2g}}.$$
  Dit bevestigt de Bogomolov-eigenschap voor $A(\mathbb{Q}(p))$ in het geval van goede reductie.

• Theorem 1.3 (Algemene Asymptotisch Positieve Uitbreidingen): Voor een algemene oneindige uitbreiding $K/K$ die asymptotisch positief is, is de ondergrens een som over alle relevante priemmachten:
  $$\liminf_{P \in A(K)} \hat{h}(P) \geq C'(A, K) \sum_{q=p^k, p \notin \mathcal{P}} \psi_q \frac{\log q}{q^{2g}}.$$

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de eerste instantie te zijn waar de Bogomolov-eigenschap wordt vastgesteld voor totaal $p$-adische punten van een abelse variëteit in het geval van goede reductie. Eerdere resultaten door Gubler dekten het totaal gedegenereerde geval, en resultaten door Chambert-Loir stelden de eigenschap alleen vast voor een Zariski-dichte open deelverzameling in het geval van goede reductie.

De auteur benadrukt dat het resultaat significant is omdat:

1. Het een specifieke vraag beantwoordt die door V. Dimitrov is opgeworpen.
2. Het het begrip van de Bogomolov-eigenschap uitbreidt naar hogere-dimensionale abelse variëteiten ($g > 1$) in niet-Galois instellingen (asymptotisch positieve uitbreidingen).
3. Het een expliciete ondergrens biedt die afhangt van het lokale gedrag van de uitbreiding (via $\psi_q$) en de dimensie van de variëteit, waarbij bijdragen van alle plaatsen in de grens worden gecombineerd.

Het werk bouwt voort op de fundamentele equidistributie-theorema's van Szpiro-Ullmo-Zhang en de hulpfunctie-technieken van David en Hindry, en past deze aan de specifieke arithmetische beperkingen van totaal $p$-adische velden aan.