Lower bound for the canonical on Abelian varieties over totally $p$-adic extensions

Resumen Técnico: Límite Inferior para la Altura Canónica en Variedades Abelianas sobre Extensiones Totalmente $p$-ádicas

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de establecer límites inferiores absolutos para la altura canónica (Néron–Tate) de puntos no torsión en variedades abelianas definidas sobre cuerpos numéricos, específicamente cuando estos puntos residen en extensiones algebraicas infinitas. El foco central es la propiedad de Bogomolov, la cual afirma que el conjunto de puntos no torsión en una extensión infinita $K$ tiene un límite inferior estrictamente positivo para su altura:
$$\liminf_{P \in A(K) \setminus A_{\text{tor}}(K)} \hat{h}(P) > 0.$$
Si bien esta propiedad es conocida para cuerpos totalmente reales (Zhang), extensiones abelianas máximas (Baker–Silverman) y ciertos campos totalmente $v$-ádicos en el caso totalmente degenerado (Gubler), un límite inferior general para extensiones totalmente $p$-ádicas en el caso de reducción buena para variedades abelianas de mayor dimensión permanecía como una cuestión abierta. Específicamente, el autor aborda una pregunta planteada por V. Dimitrov sobre la propiedad de Bogomolov para puntos totalmente $p$-ádicos de variedades abelianas con reducción buena en $p$.

Metodología
La demostración emplea una adaptación geométrica de técnicas de la teoría de números trascendentales, específicamente el método de la función auxiliar combinado con estimaciones de ceros. La estrategia central involucra los siguientes pasos:

1. Reducción a Variedades Simples: Utilizando el teorema de reducibilidad completa de Poincaré, el problema se reduce al caso donde la variedad abeliana $A$ es geométricamente simple y el fibrado de línea $L$ es muy ample.
2. Construcción de una Sección Auxiliar: El autor construye una sección auxiliar no nula $F$ en el espacio de secciones globales $\Gamma(A \times A, M \otimes L)$ (donde $M = L \boxtimes L$) utilizando el Lema de Siegel. Esta sección está diseñada para anularse hasta un orden $T_0$ en el origen de la variedad abeliana. Los coeficientes de $F$ se eligen para tener una altura pequeña.
3. Estimaciones de Altura e Desigualdad de Liouville: Para un punto $P \in A(K)$, el artículo analiza el valor de $F$ y sus derivadas en $P$. Si $P$ se reduce al identidad módulo muchos lugares de una norma específica $q$, los valores locales de las derivadas son pequeños. Por el contrario, si la altura global de $P$ es pequeña, la desigualdad de Liouville proporciona un límite inferior en el producto de estos valores locales.
4. Estimación de Ceros (Teorema de Philippon): Para evitar que la función auxiliar $F$ se anule en demasiados puntos de altura pequeña, el autor aplica la estimación de ceros de Philippon. Este teorema acota el número de ceros de una sección que se anula hasta cierto orden a lo largo de una subvariedad. Crucialmente, debido a que $A$ es asumida como simple, cualquier subgrupo algebraico propio es trivial, forzando a que el conjunto de ceros sea finito y controlado.
5. Selección de Parámetros: La demostración implica un delicado equilibrio de parámetros: el grado $L$ de la sección, el orden de anulación $T_0$ y el orden de la primera derivada no nula $T_f$. Estos se optimizan para derivar una contradicción si el conjunto de puntos con altura por debajo de cierto umbral es infinito.

Resultados Clave
El artículo establece los siguientes teoremas principales:

• Teorema 1.1 (Extensiones Totalmente $p$-ádicas): Existe un conjunto finito de primos $\mathcal{P}$ tal que para cualquier extensión asintóticamente positiva $K/\mathbb{Q}$ con $\psi_{p^f} > 0$ para $p \notin \mathcal{P}$, la altura canónica satisface:
  $$\liminf_{P \in A(K)} \hat{h}(P) \geq C(A, K) \frac{\psi_{p^f} \log(p^f)}{(p^f)^{2g}}.$$
  Aquí, $\psi_q$ mide la densidad de los ideales primos de norma $q$ en la extensión.

• Corolario 1.2 (Extensión Totalmente $p$-ádica Máxima): Para la extensión totalmente $p$-ádica máxima $\mathbb{Q}(p)$, para todos los primos $p$ excepto una cantidad finita:
  $$\liminf_{P \in A(\mathbb{Q}(p))} \hat{h}(P) \geq C(A) \frac{\log p}{p^{2g}}.$$
  Esto confirma la propiedad de Bogomolov para $A(\mathbb{Q}(p))$ en el caso de reducción buena.

• Teorema 1.3 (Extensiones Generalmente Asintóticamente Positivas): Para una extensión general infinita $K/K$ que es asintóticamente positiva, el límite inferior es una suma sobre todas las potencias de primos relevantes:
  $$\liminf_{P \in A(K)} \hat{h}(P) \geq C'(A, K) \sum_{q=p^k, p \notin \mathcal{P}} \psi_q \frac{\log q}{q^{2g}}.$$

Significación y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar el primer caso donde se establece la propiedad de Bogomolov para puntos totalmente $p$-ádicos de una variedad abeliana en el caso de reducción buena. Resultados previos de Gubler cubrieron el caso totalmente degenerado, y los resultados de Chambert-Loir establecieron la propiedad solo para un subconjunto abierto denso en sentido de Zariski en el caso de reducción buena.

El autor enfatiza que el resultado es significativo porque:

1. Responde a una pregunta específica planteada por V. Dimitrov.
2. Extiende la comprensión de la propiedad de Bogomolov a variedades abelianas de mayor dimensión ($g > 1$) en entornos no de Galois (extensiones asintóticamente positivas).
3. Proporciona un límite inferior explícito que depende del comportamiento local de la extensión (vía $\psi_q$) y de la dimensión de la variedad, combinando las contribuciones de todos los lugares en el límite.

El trabajo se construye sobre los teoremas fundamentales de equidistribución de Szpiro-Ullmo-Zhang y las técnicas de funciones auxiliares de David y Hindry, adaptándolos a las restricciones aritméticas específicas de los campos totalmente $p$-ádicos.