Local well-posedness of strong solutions to the compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosities and far field vacuum in 3D exterior domains

Technisches Resümee: Lokale Wohldefiniertheit starker Lösungen zu kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen mit degenerierten Viskositäten und Fernfeld-Vakuum in 3D-Außenbereichen

Problemstellung
Diese Arbeit untersucht die lokale Wohldefiniertheit starker Lösungen zu den dreidimensionalen isentropen kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in einem allgemeinen Außenbereich $\Omega = \mathbb{R}^3 \setminus \bar{D}$, wobei $D$ eine beschränkte glatte Domäne ist. Das System ist charakterisiert durch dichteabhängige (degenerierte) Viskositäten, spezifisch $\mu(\rho) = \mu\rho^\delta$ und $\lambda(\rho) = \lambda\rho^\delta$ mit $0 < \delta < 1$. Die Studie befasst sich mit dem Anfangswert-Grenzwertproblem (IBVP), bei dem die Anfangsdichte gegen ein Fernfeld-Vakuum strebt ($\rho \to 0$ für $|x| \to \infty$) und die Flüssigkeit die Navier-Slip-Randbedingungen an $\partial\Omega$ erfüllt:
$$u \cdot n = 0, \quad \text{curl} u \times n = -A(x)u \quad \text{auf } \partial\Omega,$$
wobei $A$ eine symmetrische Matrix ist. Die primäre Herausforderung liegt in der doppelten Degeneration der Impulsgleichung, wenn ein Vakuum auftritt, sowie in den Komplexitäten, die durch die Randterme in einem Außenbereich eingeführt werden.

Methodik
Die Autoren wenden eine Reformulierungsstrategie an, die von Li-Li [17] motiviert ist, indem die Impulsgleichung durch $\rho^\delta$ geteilt wird, um die Degeneration zu handhaben. Das System wird in folgende Form transformiert:
$$\rho^{1-\delta}u_t + \rho^{1-\delta}u \cdot \nabla u - Lu + \frac{a\gamma}{\gamma-\delta}\nabla \rho^{\gamma-\delta} = \delta \nabla \log \rho \cdot S(u),$$
wobei $L$ der Lamé-Operator ist.

Um die lokale Existenz starker Lösungen zu etablieren, verwenden die Autoren die folgenden technischen Ansätze:

1. Approximation in Ringdomänen: Das Problem wird zuerst in einer beschränkten Ringdomäne $\Omega_R = \Omega \cap B_R$ gelöst, um den Außenbereich zu approximieren. A-priori-Abschätzungen werden hergeleitet, die unabhängig vom Radius $R$ sind.
2. Handhabung von Randtermen: Ein erheblicher Teil der Analyse widmet sich der Kontrolle der Randterme, die aus der Navier-Slip-Bedingung resultieren. Im Gegensatz zum Cauchy-Problem beinhaltet der Randterm in den Energieabschätzungen die Matrix $A$, die nicht notwendigerweise positiv definit ist. Die Autoren nutzen eine neue Beobachtung, dass die Dichte $\rho$ in der Nähe des Randes $\partial\Omega$ (speziell in $\Omega_0 = \Omega \cap B_{2R_0}$) eine positive untere Schranke beibehält, was die Kontrolle negativer Potenzen von $\rho$ in Randintegralen ermöglicht.
3. Gewichtete Abschätzungen: Die Autoren leiten entscheidende gewichtete Abschätzungen für Terme wie $\nabla \rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ und $\rho^{\frac{\delta-1}{2}} \text{div} u$ her. Sie überwinden die Schwierigkeit, elliptische Abschätzungen in Ringdomänen (wo die erste Betti-Zahl ungleich Null ist) abzuleiten, indem sie eine Methode mit Abschneidefunktionen (Cut-off-Funktion) und ein spezifisches Div-Curl-Lemma nutzen, das an die Struktur des Außenbereichs angepasst ist.
4. Blow-up-Kriterium: Um die Erweiterung lokaler Lösungen auf die globale Zeit zu adressieren, wird ein Blow-up-Kriterium etabliert. Dies beinhaltet die Kontrolle der $L^1(0,T; L^\infty)$-Norm des Deformationstensors $D(u)$ und spezifischer Normen des Dichtegradienten nahe des Randes.

Wesentliche Beiträge und Ergebnisse
Die Arbeit etabliert die folgenden Hauptresultate:

• Theorem 1.1 (Lokale Wohldefiniertheit): Unter den Bedingungen $\gamma > 1$ und $0 < \delta < 1$, falls die Anfangsdaten $(\rho_0, u_0)$ bestimmte Regularitäts- und Kompatibilitätseigenschaften erfüllen (einschließlich $\rho_0^{\frac{\gamma-1+\delta}{2}} \in D^1_0 \cap D^2$ und einer Kompatibilitätsbedingung $L(u_0) = \rho_0^{\frac{1-\delta}{2}}g$), existiert eine eindeutige starke Lösung auf einem Zeitintervall $[0, T_0]$. Die Lösung erfüllt einen spezifischen Satz von Regularitätseigenschaften, einschließlich $\rho^{\frac{\delta-1}{2}} \in L^\infty(0, T_0; L^6(\Omega_0))$, was sicherstellt, dass die Dichte in der Nähe des Randes strikt positiv bleibt.
• Unabhängigkeit von Parametern: Ein kritischer Beitrag ist, dass die Auswahl des Viskositätsexponenten $\delta$ unabhängig vom adiabatischen Exponenten $\gamma$ ist. Dies steht im Gegensatz zu früheren Arbeiten (z. B. Xin-Zhu [33], Liu-Zhong [23]), die eine restriktive Beziehung zwischen $\delta$ und $\gamma$ (speziell $\delta \to 1$ wenn $\gamma \to 1$) erforderten.
• Gelockerte Kompatibilitätsbedingungen: Die Arbeit erfordert nur eine einzige Kompatibilitätsbedingung (1.13), wodurch zwei zusätzliche restriktive Bedingungen entfernt werden, die in der bisherigen Literatur für Außenbereiche zu finden waren.
• Theorem 1.2 (Blow-up-Kriterium): Ein Kriterium für das endliche Zeit-Blow-up starker Lösungen wird bereitgestellt. Falls die maximale Existenzzeit $T^*$ endlich ist, muss die Summe der $L^1(0,T; L^\infty)$-Norm von $D(u)$, der $L^\infty(0,T; L^6(\Omega_0))$-Norm von $\rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ und der $L^\infty(0,T; D^{1,2})$-Norm von $\nabla \rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ divergieren.

Bedeutung
Die Arbeit beansprucht, die Theorie der kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen mit degenerierten Viskositäten vom Cauchy-Problem auf allgemeinere Randwertprobleme in Außenbereichen zu erweitern. Durch die Entkopplung der Beschränkungen für $\delta$ und $\gamma$ umfasst das Ergebnis ein breiteres Spektrum physikalischer Szenarien, einschließlich Maxwell-Moleküle, ohne die zuvor notwendigen spezifischen Grenzbeziehungen zu fordern. Die Entwicklung neuer technischer Methoden zur Handhabung von Randtermen in Gegenwart von Fernfeld-Vakuum und nicht-positiv definiten Randmatrizen stellt einen signifikanten Fortschritt gegenüber bestehenden Theorien für IBVPs in Außenbereichen dar. Die Arbeit zeigt, dass starke Lösungen lokal existieren, selbst wenn die Anfangsdichte im Unendlichen verschwindet, vorausgesetzt, die Dichte bleibt in einer Umgebung des Randes strikt positiv.