Local well-posedness of strong solutions to the compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosities and far field vacuum in 3D exterior domains

Resumen Técnico: Bien posedía local de soluciones fuertes para las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles con viscosidades degeneradas y vacío en el campo lejano en dominios exteriores 3D

Planteamiento del problema
Este artículo investiga la bien posedía local de soluciones fuertes para las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles isentrópicas en un dominio exterior general $\Omega = \mathbb{R}^3 \setminus \bar{D}$, donde $D$ es un dominio acotado liso. El sistema se caracteriza por viscosidades dependientes de la densidad (degeneradas), específicamente $\mu(\rho) = \mu\rho^\delta$ y $\lambda(\rho) = \lambda\rho^\delta$ con $0 < \delta < 1$. El estudio aborda el problema de valor inicial-frontera (IBVP) donde la densidad inicial tiende al vacío en el campo lejano ($\rho \to 0$ cuando $|x| \to \infty$) y el fluido satisface condiciones de contorno de deslizamiento de Navier en $\partial\Omega$:
$$u \cdot n = 0, \quad \text{curl} u \times n = -A(x)u \quad \text{en } \partial\Omega,$$
donde $A$ es una matriz simétrica. El desafío principal radica en la doble degeneración de la ecuación de cantidad de movimiento cuando aparece el vacío y las complejidades introducidas por los términos de frontera en un dominio exterior.

Metodología
Los autores adoptan una estrategia de reformulación motivada por Li-Li [17], dividiendo la ecuación de cantidad de movimiento por $\rho^\delta$ para manejar la degeneración. El sistema se transforma en:
$$\rho^{1-\delta}u_t + \rho^{1-\delta}u \cdot \nabla u - Lu + \frac{a\gamma}{\gamma-\delta}\nabla \rho^{\gamma-\delta} = \delta \nabla \log \rho \cdot S(u),$$
donde $L$ es el operador de Lamé.

Para establecer la existencia local de soluciones fuertes, los autores emplean los siguientes enfoques técnicos:

1. Aproximación en dominios anulares: Primero se resuelve el problema en un dominio anular acotado $\Omega_R = \Omega \cap B_R$ para aproximar el dominio exterior. Se derivan estimaciones a priori que son independientes del radio $R$.
2. Manejo de términos de frontera: Una parte significativa del análisis se dedica a gestionar los términos de frontera que surgen de la condición de deslizamiento de Navier. A diferencia del problema de Cauchy, el término de frontera en las estimaciones de energía involucra la matriz $A$, la cual no es necesariamente definida positiva. Los autores utilizan una nueva observación de que la densidad $\rho$ mantiene un límite inferior positivo cerca de la frontera $\partial\Omega$ (específicamente en $\Omega_0 = \Omega \cap B_{2R_0}$), lo que permite el control de las potencias negativas de $\rho$ en las integrales de frontera.
3. Estimaciones ponderadas: Los autores derivan estimaciones ponderadas cruciales para términos tales como $\nabla \rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ y $\rho^{\frac{\delta-1}{2}} \text{div} u$. Superan la dificultad de derivar estimaciones elípticas en dominios anulares (donde el primer número de Betti es distinto de cero) utilizando un método de función de corte y un lema div-curl específico adaptado a la estructura del dominio exterior.
4. Criterio de explosión (Blow-up): Para abordar la extensión de las soluciones locales a tiempo global, se establece un criterio de explosión. Esto implica controlar la norma $L^1(0,T; L^\infty)$ del tensor de deformación $D(u)$ y normas específicas del gradiente de densidad cerca de la frontera.

Contribuciones clave y resultados
El artículo establece los siguientes resultados principales:

• Teorema 1.1 (Bien posedía local): Bajo las condiciones $\gamma > 1$ y $0 < \delta < 1$, si los datos iniciales $(\rho_0, u_0)$ satisfacen condiciones de regularidad y compatibilidad específicas (incluyendo $\rho_0^{\frac{\gamma-1+\delta}{2}} \in D^1_0 \cap D^2$ y una condición de compatibilidad $L(u_0) = \rho_0^{\frac{1-\delta}{2}}g$), existe una solución fuerte única en un intervalo de tiempo $[0, T_0]$. La solución satisface un conjunto específico de propiedades de regularidad, incluyendo $\rho^{\frac{\delta-1}{2}} \in L^\infty(0, T_0; L^6(\Omega_0))$, lo que asegura que la densidad permanezca acotada lejos de cero cerca de la frontera.
• Independencia de parámetros: Una contribución crítica es que la selección del exponente de viscosidad $\delta$ es independiente del exponente adiabático $\gamma$. Esto contrasta con trabajos previos (por ejemplo, Xin-Zhu [33], Liu-Zhong [23]) que requerían una relación restrictiva entre $\delta$ y $\gamma$ (específicamente $\delta \to 1$ cuando $\gamma \to 1$).
• Condiciones de compatibilidad relajadas: El artículo requiere solo una condición de compatibilidad (1.13), eliminando dos restricciones adicionales encontradas en la literatura previa para dominios exteriores.
• Teorema 1.2 (Criterio de explosión): Se proporciona un criterio para la explosión en tiempo finito de las soluciones fuertes. Si el tiempo de existencia máxima $T^*$ es finito, entonces la suma de la norma $L^1(0,T; L^\infty)$ de $D(u)$, la norma $L^\infty(0,T; L^6(\Omega_0))$ de $\rho^{\frac{\delta-1}{2}}$, y la norma $L^\infty(0,T; D^{1,2})$ de $\nabla \rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ debe divergir.

Significancia
El artículo afirma extender la teoría de las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles con viscosidades degeneradas desde el problema de Cauchy hacia problemas de valor de contorno más generales en dominios exteriores. Al desacoplar las restricciones sobre $\delta$ y $\gamma$, los resultados abarcan una gama más amplia de escenarios físicos, incluyendo las moléculas de Maxwell, sin requerir las relaciones de límite específicas necesarias anteriormente. El desarrollo de nuevos métodos técnicos para manejar los términos de frontera en presencia de vacío en el campo lejano y matrices de frontera no definidas positivas representa un avance significativo sobre las teorías existentes para IBVP en dominios exteriores. El trabajo demuestra que las soluciones fuertes existen localmente incluso cuando la densidad inicial se anula en el infinito, siempre que la densidad permanezca estrictamente positiva en una vecindad de la frontera.