Local well-posedness of strong solutions to the compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosities and far field vacuum in 3D exterior domains

Technische Samenvatting: Lokale Weldbestaan van Sterke Oplossingen voor Samendrukbare Navier-Stokes Vergelijkingen met Degenerat Viscositeit en Far-field Vacuüm in 3D Exterieure Domeinen

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt de lokale welbestaan van sterke oplossingen voor de driedimensionale isentropische samendrukbare Navier-Stokes vergelijkingen in een algemeen exterieur domein $\Omega = \mathbb{R}^3 \setminus \bar{D}$, waarbij $D$ een begrensd glad domein is. Het systeem wordt gekenmerkt door dichtheidsafhankelijke (degeneratieve) viscositeiten, specifiek $\mu(\rho) = \mu\rho^\delta$ en $\lambda(\rho) = \lambda\rho^\delta$ met $0 < \delta < 1$. De studie behandelt het begin-randwaarde probleem (IBVP) waarbij de initiële dichtheid naar een far-field vacuüm nadert ($\rho \to 0$ als $|x| \to \infty$) en het fluïdum voldoet aan Navier-slip randvoorwaarden op $\partial\Omega$:
$$u \cdot n = 0, \quad \text{curl} u \times n = -A(x)u \quad \text{op } \partial\Omega,$$
waarbij $A$ een symmetrische matrix is. De primaire uitdaging ligt in de dubbele degeneratie van de impulsvergelijking wanneer vacuüm optreedt en de complexiteiten die worden geïntroduceerd door de randtermen in een exterieur domein.

Methodologie
De auteurs hanteren een herformuleringstrategie geïnspireerd door Li-Li [17], waarbij de momentumvergelijking door $\rho^\delta$ wordt gedeeld om de degeneratie te behandelen. Het systeem wordt getransformeerd naar:
$$\rho^{1-\delta}u_t + \rho^{1-\delta}u \cdot \nabla u - Lu + \frac{a\gamma}{\gamma-\delta}\nabla \rho^{\gamma-\delta} = \delta \nabla \log \rho \cdot S(u),$$
waarbij $L$ de Lamé-operator is.

Om de lokale existentie van sterke oplossingen vast te stellen, maken de auteurs gebruik van de volgende technische benaderingen:

1. Benadering in Annulaire Domeinen: Het probleem wordt eerst opgelost in een begrensd annulaire domein $\Omega_R = \Omega \cap B_R$ om het exterieur domein te benaderen. A priori schattingen worden afgeleid die onafhankelijk zijn van de straal $R$.
2. Behandeling van Randtermen: Een aanzienlijk deel van de analyse is gewijd aan het beheren van de randtermen die voortvloeien uit de Navier-slip conditie. In tegenstelling tot het Cauchy-probleem bevat de randterm in de energie-schattingen de matrix $A$, die niet noodzakelijkerwijs positief definiet is. De auteurs maken gebruik van een nieuwe observatie dat de dichtheid $\rho$ een positieve ondergrens behoudt nabij de rand $\partial\Omega$ (specifiek in $\Omega_0 = \Omega \cap B_{2R_0}$), waardoor de controle van negatieve machten van $\rho$ in randintegralen mogelijk wordt.
3. Gewogen Schattingen: De auteurs leiden cruciale gewogen schattingen af voor termen zoals $\nabla \rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ en $\rho^{\frac{\delta-1}{2}} \text{div} u$. Zij overwinnen de moeilijkheid van het afleiden van elliptische schattingen in annulaire domeinen (waar de eerste Betti-getal niet nul is) door gebruik te maken van een cut-off functie methode en een specifieke div-curl lemma aangepast aan de structuur van het exterieur domein.
4. Blow-up Criterium: Om de extensie van lokale oplossingen naar globale tijd aan te pakken, wordt een blow-up criterium vastgesteld. Dit behelst het controleren van de $L^1(0,T; L^\infty)$ norm van de deformatietensor $D(u)$ en specifieke normen van de dichtheidsgradiënt nabij de rand.

Kernbijdragen en Resultaten
Het artikel stelt de volgende hoofdzaken vast:

• Theorem 1.1 (Lokale Welbestaan): Onder de condities $\gamma > 1$ en $0 < \delta < 1$, indien de initiële data $(\rho_0, u_0)$ voldoet aan specifieke regulariteit en compatibiliteitscondities (inclusief $\rho_0^{\frac{\gamma-1+\delta}{2}} \in D^1_0 \cap D^2$ en een compatibiliteitsconditie $L(u_0) = \rho_0^{\frac{1-\delta}{2}}g$), bestaat er een unieke sterke oplossing op een tijdsinterval $[0, T_0]$. De oplossing voldoet aan een specifieke set regulariteitseigenschappen, inclusief $\rho^{\frac{\delta-1}{2}} \in L^\infty(0, T_0; L^6(\Omega_0))$, wat garandeert dat de dichtheid nabij de rand strikt positief blijft.
• Onafhankelijkheid van Parameters: Een cruciale bijdrage is dat de selectie van de viscositeitsexponent $\delta$ onafhankelijk is van de adiabatische exponent $\gamma$. Dit staat in contrast met eerdere werken (bijv. Xin-Zhu [33], Liu-Zhong [23]) die een restrictieve relatie tussen $\delta$ en $\gamma$ vereisten (specifiek $\delta \to 1$ als $\gamma \to 1$).
• Verzwakte Compatibiliteitscondities: Het artikel vereist slechts één compatibiliteitsconditie (1.13), waarmee twee aanvullende restrictieve beperkingen die in eerdere literatuur voor exterieur domeinen werden gevonden, worden verwijderd.
• Theorem 1.2 (Blow-up Criterium): Een criterium voor de eindige-tijd blow-up van sterke oplossingen wordt verstrekt. Indien de maximale existentietijd $T^*$ eindig is, dan moet de som van de $L^1(0,T; L^\infty)$ norm van $D(u)$, de $L^\infty(0,T; L^6(\Omega_0))$ norm van $\rho^{\frac{\delta-1}{2}}$, en de $L^\infty(0,T; D^{1,2})$ norm van $\nabla \rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ divergeren.

Betekenis
Het artikel claimt de theorie van samendrukbare Navier-Stokes vergelijkingen met degeneratieve viscositeiten uit te breiden van het Cauchy-probleem naar meer algemene randwaardeproblemen in exterieur domeinen. Door de beperkingen op $\delta$ en $\gamma$ te ontkoppelen, omvatten de resultaten een breder scala aan fysische scenario's, inclusief Maxwelliaanse moleculen, zonder de specifieke limiterende relaties te vereisen die voorheen noodzakelijk waren. De ontwikkeling van nieuwe technische methoden om randtermen te behandelen in aanwezigheid van far-field vacuüm en niet-positief definitieve randmatrices vormt een significante vooruitgang ten opzichte van bestaande theorieën voor IBVP's in exterieur domeinen. Het werk demonstreert dat sterke oplossingen lokaal bestaan, zelfs wanneer de initiële dichtheid naar nul gaat in de oneindigheid, mits de dichtheid strikt positief blijft in een buurt van de rand.