Local well-posedness of strong solutions to the compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosities and far field vacuum in 3D exterior domains

Resumo Técnico: Bem-Posedness Local de Soluções Fortes para Equações de Navier-Stokes Compressíveis com Viscosidades Degeneradas e Vácuo no Campo Distante em Domínios Exteriores 3D

Enunciado do Problema
Este artigo investiga a bem-posedness local de soluções fortes para as equações de Navier-Stokes compressíveis isentrópicas em um domínio exterior geral $\Omega = \mathbb{R}^3 \setminus \bar{D}$, onde $D$ é um domínio limitado e suave. O sistema é caracterizado por viscosidades dependentes da densidade (degeneradas), especificamente $\mu(\rho) = \mu\rho^\delta$ e $\lambda(\rho) = \lambda\rho^\delta$ com $0 < \delta < 1$. O estudo aborda o problema de valor inicial-de contorno (IBVP) onde a densidade inicial se aproxima de um vácuo no campo distante ($\rho \to 0$ quando $|x| \to \infty$) e o fluido satisfaz condições de contorno de Navier-slip em $\partial\Omega$:
$$u \cdot n = 0, \quad \text{curl} u \times n = -A(x)u \quad \text{em } \partial\Omega,$$
onde $A$ é uma matriz simétrica. O desafio principal reside na dupla degeneração da equação do momento quando o vácuo aparece e nas complexidades introduzidas pelos termos de contorno em um domínio exterior.

Metodologia
Os autores adotam uma estratégia de reformulação motivada por Li-Li [17], dividindo a equação do momento por $\rho^\delta$ para lidar com a degeneração. O sistema é transformado em:
$$\rho^{1-\delta}u_t + \rho^{1-\delta}u \cdot \nabla u - Lu + \frac{a\gamma}{\gamma-\delta}\nabla \rho^{\gamma-\delta} = \delta \nabla \log \rho \cdot S(u),$$
onde $L$ é o operador de Lamé.

Para estabelecer a existência local de soluções fortes, os autores empregam as seguintes abordagens técnicas:

1. Aproximação em Domínios Anulares: O problema é primeiro resolvido em um domínio anular limitado $\Omega_R = \Omega \cap B_R$ para aproximar o domínio exterior. Estimativas a priori são derivadas de forma independente do raio $R$.
2. Tratamento de Termos de Contorno: Uma parte significativa da análise é dedicada ao gerenciamento dos termos de contorno decorrentes da condição de Navier-slip. Diferente do problema de Cauchy, o termo de contorno nas estimativas de energia envolve a matriz $A$, que não é necessariamente definida positiva. Os autores utilizam uma nova observação de que a densidade $\rho$ retém um limite inferior positivo próximo ao contorno $\partial\Omega$ (especificamente em $\Omega_0 = \Omega \cap B_{2R_0}$), permitindo o controle de potências negativas de $\rho$ em integrais de contorno.
3. Estimativas Ponderadas: Os autores derivam estimativas ponderadas cruciais para termos como $\nabla \rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ e $\rho^{\frac{\delta-1}{2}} \text{div} u$. Eles superam a dificuldade de derivar estimativas elípticas em domínios anulares (onde o primeiro número de Betti é não-nulo) utilizando um método de função de corte (cut-off) e um lemma div-curl específico adaptado para a estrutura do domínio exterior.
4. Critério de Blow-up: Para abordar a extensão das soluções locais para o tempo global, um critério de blow-up é estabelecido. Isso envolve o controle da norma $L^1(0,T; L^\infty)$ do tensor de deformação $D(u)$ e normas específicas do gradiente da densidade próximo ao contorno.

Principais Contribuições e Resultados
O artigo estabelece os seguintes resultados principais:

• Teorema 1.1 (Bem-Posedness Local): Sob as condições $\gamma > 1$ e $0 < \delta < 1$, se os dados iniciais $(\rho_0, u_0)$ satisfazem condições específicas de regularidade e compatibilidade (incluindo $\rho_0^{\frac{\gamma-1+\delta}{2}} \in D^1_0 \cap D^2$ e uma condição de compatibilidade $L(u_0) = \rho_0^{\frac{1-\delta}{2}}g$), existe uma solução forte única em um intervalo de tempo $[0, T_0]$. A solução satisfaz um conjunto específico de propriedades de regularidade, incluindo $\rho^{\frac{\delta-1}{2}} \in L^\infty(0, T_0; L^6(\Omega_0))$, o que garante que a densidade permaneça limitada longe de zero próximo ao contorno.
• Independência de Parâmetros: Uma contribuição crítica é que a seleção do expoente de viscosidade $\delta$ é independente do expoente adiabático $\gamma$. Isso contrasta com trabalhos anteriores (ex: Xin-Zhu [33], Liu-Zhong [23]) que exigiam uma relação restritiva entre $\delta$ e $\gamma$ (especificamente $\delta \to 1$ quando $\gamma \to 1$).
• Condições de Compatibilidade Relaxadas: O artigo requer apenas uma condição de compatibilidade (1.13), removendo duas restrições adicionais encontradas na literatura anterior para domínios exteriores.
• Teorema 1.2 (Critério de Blow-up): Um critério para o blow-up de tempo finito das soluções fortes é fornecido. Se o tempo máximo de existência $T^*$ for finito, então a soma da norma $L^1(0,T; L^\infty)$ de $D(u)$, da norma $L^\infty(0,T; L^6(\Omega_0))$ de $\rho^{\frac{\delta-1}{2}}$, e da norma $L^\infty(0,T; D^{1,2})$ de $\nabla \rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ deve divergir.

Significância
O artigo afirma estender a teoria das equações de Navier-Stokes compressíveis com viscosidades degeneradas do problema de Cauchy para problemas de valor de contorno mais gerais em domínios exteriores. Ao desacoplar as restrições sobre $\delta$ e $\gamma$, os resultados abrangem uma gama mais ampla de cenários físicos, incluindo moléculas de Maxwell, sem exigir as relações de limite específicas anteriormente necessárias. O desenvolvimento de novos métodos técnicos para lidar com termos de contorno na presença de vácuo no campo distante e matrizes de contorno não-definidas positivas representa um avanço significativo sobre as teorias existentes para IBVPs em domínios exteriores. O trabalho demonstra que soluções fortes existem localmente mesmo quando a densidade inicial se anula no infinito, desde que a densidade permaneça estritamente positiva em uma vizinhança do contorno.