Local well-posedness of strong solutions to the compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosities and far field vacuum in 3D exterior domains

Sintesi Tecnica: Ben Determinatezza Locale di Soluzioni Forti per le Equazioni di Navier-Stokes Compressibili con Viscosità Degeneri in Domini Esteriori 3D

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga la ben determinatazza locale di soluzioni forti per le equazioni di Navier-Stokes compressibili isentropiche in un dominio esteriore generale $\Omega = \mathbb{R}^3 \setminus \bar{D}$, dove $D$ è un dominio limitato e regolare. Il sistema è caratterizzato da viscosità dipendenti dalla densità (degenerate), specificamente $\mu(\rho) = \mu\rho^\delta$ e $\lambda(\rho) = \lambda\rho^\delta$ con $0 < \delta < 1$. Lo studio affronta il problema iniziale-valore limite (IBVP) in cui la densità iniziale tende al vuoto nel campo lontano ($\rho \to 0$ per $|x| \to \infty$) e il fluido soddisfa condizioni al contorno di Navier-slip su $\partial\Omega$:
$$u \cdot n = 0, \quad \text{curl} u \times n = -A(x)u \quad \text{su } \partial\Omega,$$
dove $A$ è una matrice simmetrica. La sfida principale risiede nella doppia degenerazione dell'equazione del momento quando compare il vuoto e nelle complessità introdotte dai termini di contorno in un dominio esteriore.

Metodologia
Gli autori adottano una strategia di riformulazione ispirata a Li-Li [17], dividendo l'equazione del momento per $\rho^\delta$ per gestire la degenerazione. Il sistema viene trasformato in:
$$\rho^{1-\delta}u_t + \rho^{1-\delta}u \cdot \nabla u - Lu + \frac{a\gamma}{\gamma-\delta}\nabla \rho^{\gamma-\delta} = \delta \nabla \log \rho \cdot S(u),$$
dove $L$ è l'operatore di Lamé.

Per stabilire l'esistenza locale di soluzioni forti, gli autori impiegano le seguenti strategie tecniche:

1. Approssimazione in Domini Anulari: Il problema viene prima risolto in un dominio anulare limitato $\Omega_R = \Omega \cap B_R$ per approssimare il dominio esteriore. Vengono derivati stimi a priori che sono indipendenti dal raggio $R$.
2. Gestione dei Termini di Contorno: Una parte significativa dell'analisi è dedicata alla gestione dei termini di contorno derivanti dalla condizione di Navier-slip. A differenza del problema di Cauchy, il termine di contorno nelle stime dell'energia coinvolge la matrice $A$, che non è necessariamente definita positiva. Gli autori utilizzano una nuova osservazione secondo cui la densità $\rho$ mantiene un limite inferiore positivo vicino al contorno $\partial\Omega$ (specificamente in $\Omega_0 = \Omega \cap B_{2R_0}$), permettendo il controllo delle potenze negative di $\rho$ negli integrali di contorno.
3. Stime Pesate: Gli autori derivano stime pesate cruciali per termini quali $\nabla \rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ e $\rho^{\frac{\delta-1}{2}} \text{div} u$. Superano la difficoltà di derivare stime ellittiche in domini anulari (dove il primo numero di Betti è non nullo) utilizzando un metodo di funzione di cut-off e un lemma div-curl specifico adattato alla struttura del dominio esteriore.
4. Criterio di Blow-up: Per affrontare l'estensione delle soluzioni locali al tempo globale, viene stabilito un criterio di blow-up. Questo comporta il controllo della norma $L^1(0,T; L^\infty)$ del tensore di deformazione $D(u)$ e di norme specifiche del gradiente della densità vicino al contorno.

Contributi Chiave e Risultati
L'articolo stabilisce i seguenti risultati principali:

• Teorema 1.1 (Ben Determinatazza Locale): Sotto le condizioni $\gamma > 1$ e $0 < \delta < 1$, se i dati iniziali $(\rho_0, u_0)$ soddisfano specifiche regolarità e condizioni di compatibilità (inclusa la condizione $\rho_0^{\frac{\gamma-1+\delta}{2}} \in D^1_0 \cap D^2$ e una condizione di compatibilità $L(u_0) = \rho_0^{\frac{1-\delta}{2}}g$), esiste una soluzione forte unica su un intervallo temporale $[0, T_0]$. La soluzione soddisfa un insieme specifico di proprietà di regolarità, inclusa la proprietà $\rho^{\frac{\delta-1}{2}} \in L^\infty(0, T_0; L^6(\Omega_0))$, che assicura che la densità rimanga strettamente positiva in un intorno del contorno.
• Indipendenza dai Parametri: Un contributo critico è che la selezione dell'esponente di viscosità $\delta$ è indipendente dall'esponente adiabatico $\gamma$. Ciò contrasta con i lavori precedenti (ad esempio, Xin-Zhu [33], Liu-Zhong [23]) che richiedevano una relazione restrittiva tra $\delta$ e $\gamma$ (specificamente $\delta \to 1$ quando $\gamma \to 1$).
• Condizioni di Compatibilità Rilassate: L'articolo richiede solo una condizione di compatibilità (1.13), rimuovendo due ulteriori vincoli restrittivi presenti nella letteratura precedente per domini esteri.
• Teorema 1.2 (Criterio di Blow-up): Viene fornito un criterio per il blow-up in tempo finito delle soluzioni forti. Se il tempo di esistenza massimo $T^*$ è finito, allora la somma della norma $L^1(0,T; L^\infty)$ di $D(u)$, della norma $L^\infty(0,T; L^6(\Omega_0))$ di $\rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ e della norma $L^\infty(0,T; D^{1,2})$ di $\nabla \rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ deve divergere.

Significatività
L'articolo sostiene di estendere la teoria delle equazioni di Navier-Stokes compressibili con viscosità degeneri dal problema di Cauchy a problemi con valori al contorno più generali in domini esteri. Decoppiando i vincoli su $\delta$ e $\gamma$, i risultati comprendono una gamma più ampia di scenari fisici, inclusi i momenti Maxwelliani, senza richiedere le specifiche relazioni limite precedentemente necessarie. Lo sviluppo di nuovi metodi tecnici per gestire i termini di contorno in presenza di vuoto nel campo lontano e matrici di contorno non definite positive rappresenta un avanzamento significativo rispetto alle teorie esistenti per gli IBVP in domini esteri. Il lavoro dimostra che le soluzioni forti esistono localmente anche quando la densità iniziale svanisce all'infinito, a condizione che la densità rimanga strettamente positiva in un intorno del contorno.