Local well-posedness of strong solutions to the compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosities and far field vacuum in 3D exterior domains

技术摘要：具有退化粘性和远场真空的三维外部域内可压缩 Navier-Stokes 方程强解的局部适定性

问题陈述
本文研究了在一般外部域 $\Omega = \mathbb{R}^3 \setminus \bar{D}$（其中 $D$ 是有界光滑区域）中，具有密度相关（退化）粘性的三维等熵可压缩 Navier-Stokes 方程强解的局部适定性。该系统的特征是粘性系数 $\mu(\rho) = \mu\rho^\delta$ 和 $\lambda(\rho) = \lambda\rho^\delta$，其中 $0 < \delta < 1$。本研究探讨了初始密度趋于远场真空（当 $|x| \to \infty$ 时 $\rho \to 0$）且流体在 $\partial\Omega$ 上满足 Navier-slip 边界条件的初值问题（IBVP）：
$$u \cdot n = 0, \quad \text{curl} u \times n = -A(x)u \quad \text{在 } \partial\Omega \text{ 上},$$
其中 $A$ 是一个对称矩阵。主要的挑战在于当真空出现时，动量方程产生的双重退化问题，以及外部域中边界项带来的复杂性。

方法论
作者采用了受 Li-Li [17] 启发的一种重构策略，通过将动量方程除以 $\rho^\delta$ 来处理退化问题。系统被转化为：
$$\rho^{1-\delta}u_t + \rho^{1-\delta}u \cdot \nabla u - Lu + \frac{a\gamma}{\gamma-\delta}\nabla \rho^{\gamma-\delta} = \delta \nabla \log \rho \cdot S(u),$$
其中 $L$ 是 Lamé 算子。

为了建立强解的局部存在性，作者采用了以下技术手段：

1. 在环形区域中的逼近： 问题首先在有界环形区域 $\Omega_R = \Omega \cap B_R$ 中求解，以逼近外部域。导出的先验估计与半径 $R$ 无关。
2. 处理边界项： 分析的大部分工作致力于管理由 Navier-slip 条件产生的边界项。与 Cauchy 问题不同，能量估计中的边界项涉及矩阵 $A$，而 $A$ 不一定是正定的。作者利用了一个新的观察结果，即密度 $\rho$ 在边界 $\partial\Omega$ 附近保持正的下界（具体而言是在 $\Omega_0 = \Omega \cap B_{2R_0}$ 内），这使得控制边界积分中 $\rho$ 的负幂次成为可能。
3. 加权估计： 作者为诸如 $\nabla \rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ 和 $\rho^{\frac{\delta-1}{2}} \text{div} u$ 等项导出了关键的加权估计。他们通过利用截断函数法和一种适用于外部域结构的特定 div-curl 引理，克服了在环形区域（其第一贝蒂数不为零）中推导椭圆估计的困难。
4. 爆破判据： 为了解决将局部解扩展到全局时间的问题，建立了一个爆破判据。这涉及控制变形张量 $D(u)$ 的 $L^1(0,T; L^\infty)$ 范数以及密度梯度在边界附近的特定范数。

主要贡献与结果
本文确立了以下主要结果：

• 定理 1.1（局部适定性）： 在条件 $\gamma > 1$ 且 $0 < \delta < 1$ 下，若初始数据 $(\rho_0, u_0)$ 满足特定的正则性和相容性条件（包括 $\rho_0^{\frac{\gamma-1+\delta}{2}} \in D^1_0 \cap D^2$，以及相容性条件 $L(u_0) = \rho_0^{\frac{1-\delta}{2}}g$），则在时间区间 $[0, T_0]$ 上存在唯一的强解。该解满足一组特定的正则性质，包括 $\rho^{\frac{\delta-1}{2}} \in L^\infty(0, T_0; L^6(\Omega_0))$，这确保了密度在边界附近保持远离零。
• 参数独立性： 一个关键的贡献是，粘性指数 $\delta$ 的选择独立于绝热指数 $\gamma$。这与之前的研究（例如 Xin-Zhu [33], Liu-Zhong [23]）形成对比，后者要求 $\delta$ 与 $\gamma$ 之间存在限制性关系（即当 $\gamma \to 1$ 时 $\delta \to 1$）。
• 放宽的相容性条件： 本文仅要求一个相容性条件 (1.13)，移除了早期文献中针对外部域存在的另外两个限制性约束。
• 定理 1.2（爆破判据）： 提供了一个强解有限时间爆破的判据。如果最大存在时间 $T^*$ 是有限的，那么 $D(u)$ 的 $L^1(0,T; L^\infty)$ 范数、$\rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ 的 $L^\infty(0,T; L^6(\Omega_0))$ 范数以及 $\nabla \rho^{\frac{\delta-1}{2}}$ 的 $L^\infty(0,T; D^{1,2})$ 范数的和必须发散。

意义
本文声称将具有退化粘性的可压缩 Navier-Stokes 方程理论从 Cauchy 问题扩展到了更一般的外部域内的边界值问题。通过解耦 $\delta$ 和 $\gamma$ 的约束，其结果涵盖了更广泛的物理场景，包括麦克斯韦分子（Maxwellian molecules），而无需之前必需的特定极限关系。开发用于处理存在远场真空和非正定边界矩阵情况下的边界项的新技术方法，代表了现有外部域 IBVP 理论的显著进步。该工作证明，只要密度在边界附近保持严格正值，即使初始密度在无穷远处消失，强解在局部也是存在的。