🔢 mathematics

A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function

Diese Arbeit stellt ein Fixpunktverfahren zur Berechnung von $\pi$ vor, das auf der Sinusfunktion basiert und für jedes natürliche $P$ eine Konvergenzordnung von exakt $2P+1$ erreicht.

Ursprüngliche Autoren: Alois Schiessl

Veröffentlicht 2026-03-18

📖 4 Min. Lesezeit🧠 Tiefgang

CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Alois Schiessl

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

🍕 Der perfekte Kreis: Ein neues Rezept für Pi

Stellen Sie sich vor, Sie wollen den perfekten Kreis (die Zahl Pi, $\pi$ ) berechnen. Das Problem ist: Pi hat unendlich viele Nachkommastellen und keine sich wiederholende Muster. Bisherige Methoden sind wie ein Schatzsucher, der mit einem kleinen Löffel (einem einfachen Rechenverfahren) versucht, einen ganzen Ozean an Sand zu schaufeln. Es dauert ewig, bis man ein wenig Fortschritt sieht.

Der Autor dieses Papers, Alois Schiessl, hat sich etwas ganz Cleveres überlegt: Ein „Super-Löffel", der mit jedem Hieb nicht nur einen Löffel voll, sondern den ganzen Eimer schaufelt.

🚀 Das Geheimnis: Der „Turbo-Modus"

Das Herzstück der Methode ist eine spezielle Formel, die auf dem Sinus (einer Wellenfunktion, die Sie vielleicht aus der Physik kennen) basiert.

Stellen Sie sich die Berechnung von Pi wie das Anpassen eines Radios auf einen bestimmten Sender vor:

Der alte Weg: Sie drehen den Knopf ein wenig, hören, ob es knistert, drehen wieder ein wenig. Das ist langsam.
Der neue Weg (Schiessls Methode): Sie haben einen Knopf, den Sie je nach Bedarf mit einem „Turbo-Modus" (einem Parameter $P$ $P$ ) versehen können.
- Wenn Sie den Turbo auf 1 stellen, verdreifacht sich Ihre Genauigkeit bei jedem Schritt (wie ein Würfel, der bei jedem Wurf drei neue Seiten gewinnt).
- Wenn Sie den Turbo auf 4 stellen, vervielfacht sich die Genauigkeit bei jedem Schritt um das Neunfache.

Das ist der „Wahnsinn": Mit nur sechs Klicks auf den Knopf (sechs Rechenschritte) können Sie eine Million Stellen von Pi berechnen. Normalerweise bräuchte man dafür Tausende von Schritten.

🎯 Wie funktioniert das? (Die Analogie)

Stellen Sie sich vor, Sie stehen weit weg von einem Ziel (Pi) und wollen dorthin laufen.

Normale Methoden: Sie machen kleine Schritte. Je näher Sie kommen, desto kleiner müssen die Schritte werden, damit Sie nicht am Ziel vorbeilaufen.
Schiessls Methode: Sie haben einen magischen Kompass. Wenn Sie weit weg sind, macht er große Sprünge. Wenn Sie fast da sind, passt er die Sprungweite so perfekt an, dass Sie bei jedem Sprung nicht nur näher kommen, sondern die Fehlermenge exponentiell schrumpft.

Der Autor hat bewiesen, dass dieser Kompass mathematisch perfekt funktioniert. Er hat gezeigt, dass die Formel so gebaut ist, dass sie „selbstkorrigierend" ist. Wenn Sie einen kleinen Fehler machen, korrigiert die Formel ihn im nächsten Schritt nicht nur, sondern macht ihn so klein, dass er fast verschwindet.

🛠️ Das praktische Beispiel im Papier

Der Autor hat das in einem Computerprogramm (Maple) getestet:

Test 1 (Der einfache Modus): Er startete mit einer groben Schätzung (3,14). Nach nur 7 Schritten hatte er 900 Stellen von Pi. Das ist, als würde man in 7 Sekunden einen ganzen Roman schreiben.
Test 2 (Der Hardcore-Modus): Er wollte eine Million Stellen. Er stellte den Turbo auf „9-fache Beschleunigung".
- Er startete mit einem sehr guten Startwert (18 Stellen).
- Er ließ den Computer in jedem Schritt ein bisschen „schärfer" rechnen (wie eine Kamera, die erst grob fokussiert und dann immer feiner nachschärft).
- Ergebnis: Nach nur 6 Schritten hatte er Pi auf über eine Million Stellen genau berechnet.

💡 Warum ist das wichtig?

Normalerweise denkt man, dass man für mehr Genauigkeit einfach mehr Zeit und Rechenleistung braucht. Diese Methode zeigt: Nein, man braucht vor allem die richtige Formel.

Es ist der Unterschied zwischen:

Einem Handwerker, der mit einem Hammer Stein für Stein mauert.
Und einem 3D-Drucker, der die ganze Wand in einem einzigen, perfekten Durchgang druckt.

Zusammenfassung für den Alltag

Dieses Papier ist wie ein neues, superschnelles Rezept für die Zahl Pi.

Die Zutat: Eine spezielle Mischung aus Sinus-Funktionen.
Der Trick: Man kann die „Schärfe" des Rezepts (den Parameter $P$ ) einstellen.
Das Ergebnis: Mit nur wenigen Klicks erhält man eine Genauigkeit, für die andere Methoden Jahre bräuchten.

Es ist eine elegante, mathematische „Abkürzung", die zeigt, dass man mit der richtigen Idee (in diesem Fall basierend auf der Sinus-Welle) extrem schnell ans Ziel kommt. Ein echtes Fest für den „Pi-Tag"! 🥧🎉

Titel

Fixpunkt-Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl $\pi$ mit beliebiger ungerader Konvergenzordnung auf Basis der Sinus-Funktion

1. Problemstellung

Die hochpräzise Berechnung der Kreiszahl $\pi$ ist ein klassisches Problem der numerischen Mathematik. Herkömmliche iterative Verfahren (wie das Newton-Verfahren) erreichen oft quadratische Konvergenz (Ordnung 2). Das Ziel dieses Papers ist die Entwicklung eines Fixpunkt-Verfahrens, das eine beliebig hohe, ungerade Konvergenzordnung ermöglicht. Dies erlaubt es, die Anzahl der korrekten Dezimalstellen bei jedem Iterationsschritt exponentiell zu steigern, was für die Berechnung von Millionen oder Milliarden von Stellen von entscheidender Bedeutung ist.

2. Methodik

Der Kern der Methode basiert auf der Umkehrung der Potenzreihe des Arcussinus ( $\arcsin$ ).

Mathematische Grundlage:
Die Potenzreihe für $\arcsin(t)$ für $|t| \le 1$ lautet:
$\arcsin(t) = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{\ell=1}^{k-1} \frac{2\ell-1}{2\ell} \right) \frac{t^{2k-1}}{2k-1}$
Durch die Substitution $t = \sin(x)$ und die Betrachtung der ersten $P$ Terme entsteht eine endliche Summe.
Definition der Iterationsfunktion:
Für ein gegebenes $P \in \mathbb{N}$ wird die Funktion $S(x)$ definiert als:
$S(x) = x + \sum_{k=1}^{P} \left( \prod_{\ell=1}^{k-1} \frac{2\ell-1}{2\ell} \right) \frac{\sin(x)^{2k-1}}{2k-1}$
Die Iteration erfolgt gemäß dem Fixpunkt-Schema:
$x_{n+1} = S(x_n)$
(In der praktischen Anwendung wird dies oft als $x_n = x_{n-1} + \sum c_k \sin(x_{n-1})^{2k-1}$ formuliert, wobei die Koeffizienten $c_k$ vorab berechnet werden).
Theoretischer Beweis:
Der Autor beweist drei zentrale Eigenschaften:
1. Fixpunkteigenschaft: $S(\pi) = \pi$ , da $\sin(\pi) = 0$ .
2. Ableitungen im Fixpunkt: Es wird gezeigt, dass alle Ableitungen $S^{(k)}(\pi)$ für $1 \le k \le 2P$ gleich Null sind. Die erste nicht-verschwindende Ableitung tritt bei der Ordnung $2P+1$ auf.
3. Konvergenzordnung: Aufgrund der verschwindenden Ableitungen bis zur Ordnung $2P$ konvergiert die Folge $x_n$ gegen $\pi$ mit der exakten Ordnung $2P + 1$ . Dies wird mittels Taylor-Entwicklung und dem Banachschen Fixpunktsatz hergeleitet.

3. Wichtige Beiträge

Allgemeine Formel: Bereitstellung einer geschlossenen Formel für eine Fixpunkt-Iteration, deren Konvergenzordnung durch den Parameter $P$ frei wählbar ist (immer ungerade: 3, 5, 7, ...).
Rigorese Analyse: Vollständiger mathematischer Beweis für die Konvergenzordnung und die asymptotische Fehlerkonstante unter Verwendung von Taylor-Reihen und der Leibniz-Regel für höhere Ableitungen.
Praktische Optimierung: Einführung von Strategien zur effizienten Berechnung mit hoher Genauigkeit:
- Verwendung eines bereits sehr genauen Startwerts ( $x_0$ ).
- Adaptive Erhöhung der Rechengenauigkeit (Anzahl der Dezimalstellen) in jedem Iterationsschritt, um Rechenzeit zu sparen, da die Iteration selbstkorrigierend ist.

4. Ergebnisse und numerische Tests

Die Methode wurde mit dem Computer-Algebra-System Maple 2025.2 auf einem Standard-PC getestet.

Beispiel 1 (Ordnung 3):
- Parameter: $P=1$ (Ordnung $2\cdot1+1 = 3$ ).
- Funktion: $S(x) = x + \sin(x)$ .
- Startwert: $x_0 = 3$ .
- Ergebnis: Nach nur 7 Iterationen wurden über 900 korrekte Dezimalstellen von $\pi$ erreicht. Die Fehlerexponenten verdreifachten sich in jedem Schritt (charakteristisch für kubische Konvergenz).
Beispiel 2 (Ordnung 9, 1 Million Stellen):
- Parameter: $P=4$ (Ordnung $2\cdot4+1 = 9$ ).
- Startwert: $x_0 \approx 3.14159...$ (18 Stellen genau).
- Strategie: Adaptive Erhöhung der Rechengenauigkeit (Digits) von 162 auf über 1 Million Stellen über 6 Schritte.
- Ergebnis: In 6 Iterationsschritten wurde eine Genauigkeit von über 1 Million Dezimalstellen erreicht. Die Fehlerexponenten nahmen um den Faktor 9 pro Schritt zu.

5. Bedeutung und Fazit

Das Paper stellt einen eleganten und effizienten Ansatz zur Berechnung von $\pi$ dar.

Effizienz: Durch die Wahl eines hohen $P$ kann die Konvergenzordnung massiv erhöht werden, was die Anzahl der benötigten Iterationsschritte drastisch reduziert.
Einfachheit: Im Gegensatz zu komplexen Algorithmen (wie dem Chudnovsky-Algorithmus, der auf hypergeometrischen Reihen basiert) ist die Iterationsfunktion rein trigonometrisch und einfach zu implementieren.
Skalierbarkeit: Die vorgestellte Methode demonstriert, dass mit begrenzten Ressourcen (Standard-PC) und wenigen Iterationsschritten extrem hohe Präzision erreicht werden kann, sofern die Berechnung von $\sin(x)$ in hoher Genauigkeit effizient durchgeführt wird.

Zusammenfassend bietet das Verfahren eine theoretisch fundierte und praktisch bewährte Alternative für die hochpräzise Berechnung von $\pi$ , wobei die Konvergenzgeschwindigkeit durch den Parameter $P$ beliebig gesteuert werden kann.