🔢 mathematics

A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function

Dit artikel introduceert een vastpuntmethode voor de berekening van het getal $\pi$ op basis van de sinusfunctie die, afhankelijk van de parameter $P$ , convergeert met een willekeurige oneven orde van $2P+1$ .

Oorspronkelijke auteurs: Alois Schiessl

Gepubliceerd 2026-03-18

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Alois Schiessl

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een heel nauwkeurige schatting van het getal $\pi$ (pi) wilt maken. Pi is dat mysterieuze getal dat de omtrek van een cirkel relateert aan de diameter, en het heeft oneindig veel decimalen. De meeste mensen weten dat het ongeveer 3,14 is, maar wiskundigen willen vaak miljoenen decimalen achter de komma.

In dit paper, geschreven door Alois Schiessl, wordt een nieuwe, zeer krachtige manier voorgesteld om Pi te berekenen. Het is alsof je een gewone fiets (een simpele berekening) vervangt door een hyper-snel ruimteschip dat elke keer dat je op de rem trapt, niet net iets sneller wordt, maar ineens negen keer zo snel gaat.

Hier is de uitleg in simpele taal, met een paar creatieve vergelijkingen:

1. Het Probleem: Het "Glijden" naar de Waarheid

Stel je voor dat je in het donker loopt en je wilt precies op een specifiek punt in de kamer staan (dat punt is $\pi$ ).

De oude manier: Je loopt een klein stapje, kijkt of je er bent, en loopt weer een klein stapje. Als je dichterbij bent, maak je je stapjes kleiner. Dit werkt, maar het duurt eeuwen om heel precies te zijn.
De nieuwe manier (de methode van Schiessl): Je hebt een magische kompasnaald die niet alleen aangeeft welke kant op je moet, maar ook precies zegt: "Je bent nu 10 meter weg, maar als je nu precies 9 keer zo hard loopt als je denkt, kom je er in één keer!"

2. De Magische Formule: De "Pi-Boost"

De auteur gebruikt een wiskundige truc die gebaseerd is op de sinus-functie (een golflijn die je kent uit de natuurkunde).

Hij heeft een formule bedacht die eruit ziet als een lange som, maar de kern is simpel:
$x_{nieuw} = x_{oud} + \text{een beetje sinus} + \text{een beetje meer sinus} + \dots$

De variabele P: Dit is de "krachtknop" van je machine.
- Als je $P=1$ kiest, is het een gewone fiets. Elke stap maakt je ongeveer 3 keer zo nauwkeurig.
- Als je $P=4$ kiest (zoals in het voorbeeld in het paper), heb je een raket. Elke stap maakt je 9 keer zo nauwkeurig.
- Je kunt $P$ zo groot maken als je wilt, en de snelheid van je nauwkeurigheid wordt dan gigantisch.

3. Hoe werkt het in de praktijk? (De "Self-Correcting" Trap)

Het mooiste aan deze methode is dat je niet vanaf het begin met een supercomputer hoeft te rekenen. Het is als het bouwen van een toren:

De fundering: Je begint met een ruwe schatting (bijvoorbeeld 3,14159). Je hoeft niet 1 miljoen decimalen te kennen om te beginnen.
De eerste verdieping: Je gebruikt je simpele schatting en de formule. Omdat de formule zo slim is, krijg je ineens een antwoord dat al 162 decimalen nauwkeurig is.
De volgende verdieping: Nu gebruik je die 162 decimalen als basis. Omdat je formule zo krachtig is, spring je nu naar 1.458 decimalen nauwkeurig.
De top: Je herhaalt dit een paar keer. In het paper zien ze dat ze met slechts 6 stappen van een simpele startwaarde, in één klap meer dan een miljoen decimalen van Pi berekenden.

De analogie:
Stel je voor dat je een foto van een landschap maakt.

Eerst maak je een wazige foto (weinig decimalen).
Dan zoom je in en de camera corrigeert zichzelf automatisch: "Oh, ik zag dat er een boom was, nu zie ik de bladeren."
Dan zoom je weer in: "Nu zie ik de aderen in het blad."
Bij deze methode gebeurt dat "zoomen" niet langzaam, maar in sprongen. Van wazig naar "zien van de aderen" in één klik.

4. Waarom is dit zo speciaal?

Normaal gesproken moet je voor elke extra stap in nauwkeurigheid veel meer rekenkracht en tijd investeren. Bij deze methode is het alsof je een vermenigvuldiging hebt gevonden.

Bij de eerste methode (P=1) verdrievoudigt het aantal juiste cijfers per stap.
Bij de tweede methode (P=4) verneunvoudigt het aantal juiste cijfers per stap.

In het paper laten ze zien dat ze met een gewone thuis-pc (een AMD Ryzen processor) en een softwareprogramma genaamd Maple, in een handomdraai een miljoen cijfers van Pi konden genereren.

Samenvatting voor de leek

Alois Schiessl heeft een nieuwe "recept" gevonden om Pi te bakken.

Het ingrediënt: De sinus-functie (een golf).
De oven: Een formule die je kunt instellen op "sneller" of "nog sneller" (door de variabele P te verhogen).
Het resultaat: In plaats van dat je Pi stap voor stap moet benaderen, schiet je er met enorme sprongen naartoe. Je begint met een ruwe schatting en na slechts een paar "klikken" heb je een antwoord dat zo nauwkeurig is dat je er een heel boek mee kunt vullen.

Het is een elegante oplossing die laat zien dat wiskunde soms net als een goed geoliede machine werkt: als je de juiste onderdelen (de sinus en de juiste coëfficiënten) op de juiste manier combineert, krijg je een machine die onmogelijk lijkt te zijn, maar die gewoon werkt.

Titel

Een vastpunt-iteratiemethode voor het getal Pi met een willekeurige oneven convergentie-orde, gebaseerd op de sinusfunctie.

1. Het Probleem

Het berekenen van het getal $\pi$ met extreem hoge precisie (bijvoorbeeld miljoenen of miljarden decimalen) is een fundamentele uitdaging in de numerieke wiskunde. Traditionele methoden vereisen vaak complexe algoritmen of hebben een beperkte convergentiesnelheid, wat betekent dat er veel iteratiestappen nodig zijn om de gewenste nauwkeurigheid te bereiken. Er is behoefte aan efficiënte methoden die de convergentie-orde kunnen controleren en maximaliseren om de rekentijd te minimaliseren.

2. Methodologie

De auteur presenteert een nieuw vastpunt-iteratiemethode die voortkomt uit de machtreeksontwikkeling van de arcsinus-functie.

De Basisformule:
De methode begint met de bekende machtreeks voor $\arcsin(t)$ :
$\arcsin(t) = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{\ell=1}^{k-1} \frac{2\ell-1}{2\ell} \right) \frac{t^{2k-1}}{2k-1}$
Door de substitutie $t = \sin(x)$ te maken en de reeks te trunceren na $P$ termen, definieert de auteur de functie $S(x)$ :
$S(x) = x + \sum_{k=1}^{P} \left( \prod_{\ell=1}^{k-1} \frac{2\ell-1}{2\ell} \right) \frac{\sin(x)^{2k-1}}{2k-1}$
De iteratieregel is dan: $x_{n+1} = S(x_n)$ .
Convergentie-analyse:
Het paper bewijst wiskundig dat voor elke $P \in \mathbb{N}$ :
1. $\pi$ een vast punt is ( $S(\pi) = \pi$ ).
2. De afgeleiden van $S(x)$ in het punt $\pi$ voldoen aan: $S^{(k)}(\pi) = 0$ voor alle $1 \leq k \leq 2P$ .
3. De $(2P+1)$ -de afgeleide is niet-nul.
Dit impliceert dat de methode convergentie heeft van de orde $2P + 1$ . Omdat $P$ een natuurlijk getal is, is de convergentie-orde altijd een oneven getal (3, 5, 7, 9, etc.).
Optimalisatie voor hoge precisie:
Voor praktische berekeningen worden drie optimalisatietechnieken toegepast:
1. Startwaarde: Gebruik van een startwaarde $x_0$ die al zeer nauwkeurig is (bijv. 18 decimalen).
2. Hoge Orde: Het kiezen van een hoge $P$ (bijv. $P=4$ voor orde 9) om het aantal correcte decimalen exponentieel te laten groeien per stap.
3. Adaptieve Precisie: De berekening begint met lage precisie en verhoogt het aantal significante cijfers ("Digits") in elke stap, afhankelijk van de verwachte convergentie, om rekenkracht te besparen in de vroege fasen.

3. Belangrijkste Bijdragen

Wiskundige Formulering: Een nieuwe, gesloten vorm voor een vastpunt-iteratie die specifiek is ontworpen om $\pi$ te benaderen met een willekeurig gekozen oneven convergentie-orde.
Rigoureuze Bewijzen: Het paper bevat volledige wiskundige bewijzen voor de vastpunteigenschap, de afgeleiden (met gebruik van de regel van Leibniz en Taylorreeksen) en de convergentie (gebaseerd op de stelling van Banach).
Asymptotische Foutconstante: De auteur leidt de exacte asymptotische foutconstante af, die afhankelijk is van $P$ .
Praktische Implementatie: Een demonstratie van de efficiëntie door $\pi$ te berekenen met behulp van het computeralgebrasysteem Maple.

4. Resultaten

De auteur voerde twee belangrijke numerieke tests uit:

Test met $P=1$ (Orde 3):
- Formule: $x_{n+1} = x_n + \sin(x_n)$ .
- Startwaarde: $x_0 = 3$ .
- Na slechts 7 iteraties werd een nauwkeurigheid van meer dan 900 decimalen bereikt. De exponent van de fout nam ongeveer met een factor 3 toe per stap, wat de kubische convergentie bevestigt.
Test met $P=4$ (Orde 9) voor 1 miljoen decimalen:
- Doel: Berekenen van $\pi$ tot op 1.000.000 decimalen.
- Strategie: Start met $x_0$ (18 decimalen) en gebruik $P=4$ .
- Door de precisie stapsgewijs te verhogen (van 162 naar 1.062.882 decimalen), werden 6 iteraties uitgevoerd.
- Resultaat: Na 6 stappen werd een nauwkeurigheid van ongeveer 1.059.070 decimalen bereikt. De foutvermindering toonde een factor van ongeveer 9 per stap, wat de nonische (9e orde) convergentie bevestigt.

De berekeningen werden uitgevoerd op een standaard thuis-PC (AMD Ryzen 5 5600G) met Maple 2025.2.

5. Betekenis en Conclusie

Deze paper introduceert een elegant en uiterst efficiënt algoritme voor de berekening van $\pi$ . De belangrijkste betekenis ligt in de flexibiliteit: de gebruiker kan de parameter $P$ kiezen om de convergentie-orde direct te bepalen.

Efficiëntie: De methode is superieur aan veel traditionele methoden omdat het aantal correcte decimalen exponentieel groeit met het aantal iteraties (bij orde $k$ wordt het aantal correcte cijfers vermenigvuldigd met $k$ per stap).
Toepasbaarheid: De methode is direct implementeerbaar en vereist geen complexe transformaties, alleen een efficiënte implementatie van de sinusfunctie voor hoge precisie.
Wiskundige Schoonheid: Het koppelen van de arcsinus-reeks aan een vastpunt-iteratie om specifieke convergentie-eigenschappen te bereiken, is een elegante toepassing van klassieke analyse.

Samenvattend biedt dit paper een krachtige, wiskundig onderbouwde methode om $\pi$ met extreem hoge precisie te berekenen, waarbij de snelheid van convergentie door de gebruiker kan worden ingesteld via de parameter $P$ .