A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function" (Un método de iteración de punto fijo para el número Pi con orden de convergencia impar arbitrario basado en la función seno), escrito por Alois Schiessl.

1. Problema

El cálculo de alta precisión de la constante matemática $\pi$ es un desafío fundamental en la computación numérica. Los métodos tradicionales a menudo requieren un gran número de iteraciones o tienen órdenes de convergencia limitados (como cuadrática o cúbica). El objetivo de este trabajo es proponer un método de iteración de punto fijo que permita calcular $\pi$ con un orden de convergencia impar arbitrario ($2P + 1$), donde $P$ es un número natural elegido por el usuario, ofreciendo una flexibilidad teórica y práctica superior para la precisión extrema.

2. Metodología

Definición del Método

El autor define una función de punto fijo $S(x)$ basada en la serie de potencias truncada de la función $\arcsin(t)$, sustituyendo $t = \sin(x)$.

Sea $P \in \mathbb{N}$. La función se define como:
$$S(x) = x + \sum_{k=1}^{P} \left( \prod_{\ell=1}^{k-1} \frac{2\ell-1}{2\ell} \right) \frac{\sin(x)^{2k-1}}{2k-1}$$

El algoritmo de iteración es:
$$x_{n+1} = S(x_n)$$
donde $x_0$ es un valor inicial suficientemente cercano a $\pi$.

Fundamento Teórico

El método se basa en la expansión de la serie de Taylor de $\arcsin(t)$:
$$\arcsin(t) = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{\ell=1}^{k-1} \frac{2\ell-1}{2\ell} \right) \frac{t^{2k-1}}{2k-1}$$
Al sustituir $t = \sin(x)$, la suma infinita converge a $x$ (dentro del dominio de convergencia). Al truncar la serie en el término $P$, se crea un error que, al ser utilizado como corrección en una iteración de punto fijo, elimina los términos de error de orden inferior.

Análisis de Convergencia

El teorema principal establece tres propiedades clave:

1. Punto Fijo: $S(\pi) = \pi$.
2. Derivadas en el Punto Fijo: Se demuestra que las derivadas de $S(x)$ evaluadas en $\pi$ son cero para todos los órdenes $k$ desde $1$ hasta $2P$:
   $$S^{(k)}(\pi) = 0 \quad \text{para } 1 \le k \le 2P$$
   La primera derivada no nula ocurre en el orden $2P+1$:
   $$S^{(2P+1)}(\pi) = \left( \prod_{\ell=1}^{P} (2\ell-1) \right)^2$$
3. Orden de Convergencia: Debido a que las primeras $2P$ derivadas son cero, el método converge con un orden exacto de $2P + 1$. Esto significa que el número de dígitos correctos se multiplica por $(2P+1)$ en cada iteración (convergencia polinomial de alto orden).

La prueba de convergencia utiliza el Teorema del Punto Fijo de Banach, demostrando que existe una vecindad alrededor de $\pi$ donde la función es una contracción.

3. Contribuciones Clave

• Arbitrariedad del Orden: A diferencia de métodos fijos (como Newton-Raphson que es cuadrático), este método permite al usuario seleccionar $P$ para obtener cualquier orden de convergencia impar deseado (3, 5, 7, 9, etc.).
• Eficiencia Computacional: El autor demuestra que, aunque la función $S(x)$ parece compleja, los coeficientes son constantes y pueden precalcularse. Además, propone una estrategia de "precisión progresiva": no es necesario calcular cada iteración con la precisión final deseada, sino que la precisión puede aumentarse paso a paso, optimizando el uso de recursos computacionales.
• Análisis Riguroso: Proporciona una demostración completa de las derivadas de orden superior en el punto fijo, utilizando la regla de Leibniz y expansiones de Taylor con resto de Lagrange para justificar el orden de convergencia.

4. Resultados Experimentales

El autor realizó pruebas computacionales utilizando el sistema de álgebra computacional Maple 2025.2 en un PC estándar (AMD Ryzen 5).

• Caso 1: $P=1$ (Orden 3)

  • Función: $S(x) = x + \sin(x)$.
  • Resultado: Con un valor inicial $x_0 = 3$, en solo 7 iteraciones se obtuvieron más de 900 dígitos correctos de $\pi$. La tasa de crecimiento de los dígitos correctos se triplicó en cada paso, confirmando el orden cúbico.

• Caso 2: $P=4$ (Orden 9)

  • Objetivo: Calcular 1 millón de dígitos de $\pi$.
  • Estrategia: Se utilizó un valor inicial muy preciso ($x_0 \approx 3.14159...$ con 18 dígitos) y se aumentó la precisión de cálculo (variable Digits en Maple) en cada paso según la fórmula $18 \times 9^n$.
  • Resultado: Se lograron más de 1 millón de dígitos en solo 6 iteraciones.
  • Eficiencia: La precisión final alcanzada fue del orden de $10^{-1059070}$, demostrando la potencia de la convergencia nona (nonic).

5. Significado e Importancia

Este trabajo es significativo por varias razones:

1. Eficiencia Extrema: Para cálculos de precisión arbitraria (miles o millones de dígitos), los métodos de alto orden reducen drásticamente el número de iteraciones necesarias en comparación con métodos de bajo orden.
2. Optimización de Recursos: La técnica de "precisión progresiva" descrita en el artículo es crucial para la viabilidad práctica. Calcular millones de dígitos en cada paso intermedio sería computacionalmente prohibitivo; ajustar la precisión dinámicamente hace que el método sea eficiente en tiempo y memoria.
3. Simplicidad Conceptual vs. Potencia: A pesar de basarse en una función trigonométrica simple ($\sin(x)$) y una serie truncada, el método logra un rendimiento matemático sofisticado, ofreciendo una alternativa elegante a algoritmos más complejos como los de Chudnovsky o Brent-Salamin para ciertos contextos de implementación.

En resumen, Schiessl presenta un método robusto, teóricamente sólido y prácticamente eficiente para el cálculo de $\pi$, destacando la capacidad de controlar el orden de convergencia mediante un parámetro entero $P$.