A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function

Sintesi Tecnica: Metodo di Iterazione a Punto Fisso per $\pi$

1. Il Problema

Il calcolo ad alta precisione della costante matematica $\pi$ è un problema fondamentale nell'analisi numerica. Sebbene esistano molti algoritmi (come quelli basati su serie di Machin o trasformate di Fourier veloci), la ricerca di metodi che offrano un'ordine di convergenza arbitrario e controllabile, basati su funzioni elementari come il seno, rimane un ambito di interesse teorico e pratico. L'obiettivo è sviluppare un metodo iterativo che possa essere "tarato" per raggiungere ordini di convergenza dispari specifici ($3, 5, 7, \dots$) semplicemente modificando un parametro intero $P$.

2. Metodologia

L'autore propone un metodo di iterazione a punto fisso basato sulla serie di potenze dell'arcoseno ($\arcsin$).

• Fondamento Teorico:
  Si parte dalla serie di Taylor per $\arcsin(t)$, che converge assolutamente per $|t| \le 1$:
  $$\arcsin(t) = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{\ell=1}^{k-1} \frac{2\ell-1}{2\ell} \right) \frac{t^{2k-1}}{2k-1}$$
  Sostituendo $t = \sin(x)$, si ottiene una somma finita che approssima $x$ quando $x$ è vicino a $\pi$.

• Definizione della Funzione di Iterazione:
  Viene definita una funzione $S(x)$ che dipende da un parametro intero $P \in \mathbb{N}$:
  $$S(x) = x + \sum_{k=1}^{P} \left( \prod_{\ell=1}^{k-1} \frac{2\ell-1}{2\ell} \right) \frac{\sin(x)^{2k-1}}{2k-1}$$
  L'algoritmo iterativo è definito come:
  $$x_{n+1} = S(x_n)$$
  dove $x_0$ è un valore iniziale sufficientemente vicino a $\pi$.

• Ottimizzazione Computazionale:
  Per l'implementazione pratica, i coefficienti della serie (che non cambiano durante l'iterazione) vengono pre-calcolati e memorizzati in un vettore $c_k$. La funzione di iterazione diventa:
  $$x_{n+1} = x_n + \sum_{k=1}^{P} c_k \sin(x_n)^{2k-1}$$
  Inoltre, per calcoli ad altissima precisione (milioni di cifre), l'autore suggerisce di aumentare dinamicamente la precisione numerica (numero di cifre significative) ad ogni passo, sfruttando la natura auto-correttiva del metodo.

3. Risultati Teorici Principali (Teorema)

Il documento dimostra rigorosamente le seguenti proprietà per la funzione $S(x)$:

1. Punto Fisso: $\pi$ è un punto fisso della funzione, ovvero $S(\pi) = \pi$.
2. Derivate Nulle: Le derivate della funzione $S(x)$ calcolate in $\pi$ sono nulle fino all'ordine $2P$:
   $$S^{(k)}(\pi) = 0 \quad \text{per} \quad 1 \le k \le 2P$$
3. Ordine di Convergenza: La prima derivata non nulla è quella di ordine $2P+1$. Di conseguenza, per qualsiasi valore iniziale $x_0$ sufficientemente vicino a $\pi$, la sequenza converge a $\pi$ con un ordine di convergenza esattamente pari a $2P + 1$.
   • Se $P=1$, l'ordine è 3 (convergenza cubica).
   • Se $P=4$, l'ordine è 9 (convergenza nonica).
4. Costante Asintotica: L'errore asintotico è dato da:
   $$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1} - \pi}{(x_n - \pi)^{2P+1}} = \frac{1}{(2P+1)!} \left( \prod_{\ell=1}^{P} (2\ell-1) \right)^2$$

La dimostrazione si avvale del Teorema del Punto Fisso di Banach per la convergenza e dello sviluppo di Taylor per determinare l'ordine esatto.

4. Risultati Sperimentali e Prestazioni

L'autore ha testato il metodo utilizzando il sistema algebrico computazionale Maple 2025.2 su un PC desktop standard.

• Esempio 1 (Convergenza Cubica, $P=1$):

  • Funzione: $x_{n+1} = x_n + \sin(x_n)$.
  • Partendo da $x_0 = 3$, dopo soli 7 iterazioni, il metodo ha prodotto oltre 900 cifre decimali corrette di $\pi$.
  • L'esponente dell'errore è triplicato ad ogni passo, confermando l'ordine 3.

• Esempio 2 (Convergenza Nonica, $P=4$):

  • Obiettivo: Calcolare 1 milione di cifre di $\pi$.
  • Parametri: $P=4$ (ordine 9), valore iniziale $x_0 \approx 3.14159...$ (18 cifre).
  • Strategia: Aumento progressivo della precisione (da 162 cifre a oltre 1 milione) ad ogni iterazione per ottimizzare i tempi di calcolo.
  • Risultato: In soli 6 iterazioni, il metodo ha raggiunto una precisione di oltre 1.000.000 di cifre decimali.
  • L'errore è diminuito di un fattore circa $10^9$ ad ogni passo, confermando l'ordine di convergenza 9.

5. Significato e Contributi

• Flessibilità: Il metodo offre un controllo diretto sull'ordine di convergenza. Aumentando $P$, si può accelerare drasticamente il tasso di convergenza senza cambiare la struttura fondamentale dell'algoritmo.
• Efficienza: Nonostante la necessità di calcolare potenze di $\sin(x)$, la rapida convergenza (es. ordine 9) riduce il numero totale di iterazioni necessarie per raggiungere precisioni estreme, rendendo il metodo competitivo per calcoli su larga scala.
• Semplicità Concettuale: L'algoritmo si basa su funzioni trigonometriche elementari e serie di potenze, evitando la complessità di algoritmi basati su trasformate rapide o geometrie complesse, pur mantenendo un'efficacia teorica solida.
• Validazione Pratica: I test dimostrano che, combinando un buon valore iniziale e una gestione dinamica della precisione numerica, è possibile calcolare milioni di cifre di $\pi$ con un numero molto ridotto di iterazioni su hardware consumer.

In conclusione, Schiessl presenta un metodo elegante e potente che collega la serie di Taylor dell'arcoseno a un iteratore a punto fisso, permettendo di ottenere ordini di convergenza dispari arbitrari per il calcolo di $\pi$, con dimostrazioni teoriche rigorose e validazioni numeriche di alta precisione.