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A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function

本文提出了一种基于正弦函数的定点迭代法，通过引入参数 $P$ 构造特定函数，使得在 $\pi$ 附近初始值下能以任意奇数阶（ $2P+1$ ）收敛精度高效计算圆周率。

原作者： Alois Schiessl

发布于 2026-03-18

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原作者： Alois Schiessl

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

这篇论文介绍了一种非常聪明且高效的“猜数游戏”方法，用来计算数学中那个著名的常数——圆周率（ $\pi$ ）。

想象一下，你想知道一个圆的周长和直径的比值（也就是 $\pi$ ），但你手里没有尺子，只有一个神奇的“魔法球”（正弦函数 $\sin$ ）。这篇论文的作者 Alois Schiessl 发明了一套规则，让你通过不断调整这个“魔法球”的角度，迅速逼近 $\pi$ 的精确值。

下面我用几个生活中的比喻来解释这个方法的精髓：

1. 核心思想：不仅仅是“猜”，而是“智能修正”

通常，如果你想知道 $\pi$ 是多少（约等于 3.14159...），你可能会随便猜一个数，比如 3。然后你会发现 3 有点小，于是你加一点点，变成 3.1，再加点变成 3.14……这种方法很慢，就像在黑暗中摸索。

但这篇论文的方法不同。它定义了一个**“修正公式”**：
$\text{新猜测} = \text{旧猜测} + \text{根据错误程度计算出的修正量}$

这个修正量是基于 $\sin(x)$ 计算的。因为 $\sin(\pi) = 0$ ，如果你猜的数 $x$ 离 $\pi$ 越近， $\sin(x)$ 就越接近 0。这个公式巧妙地利用了这个特性，告诉你：“嘿，你离目标还差多远，赶紧补上！”

2. 魔法开关：参数 $P$ 决定“升级速度”

这是这篇论文最酷的地方。作者引入了一个参数 $P$ （你可以把它想象成**“魔法等级”或“加速器”**）。

普通模式 ( $P=1$ )： 就像骑自行车。每踩一次踏板（做一次计算），你的速度（精确度）提升一点点。在这个方法里，每算一步，正确的数字位数大约翻 3 倍。
- 比喻： 你本来知道前 1 位小数，算一步后知道前 3 位，再算一步知道前 9 位。
超级模式 ( $P=4$ )： 就像坐上了火箭。作者把 $P$ $P$ 设为 4，这时候每算一步，正确的数字位数会翻 9 倍！
- 比喻： 想象你在爬楼梯。普通模式是走楼梯，一步一个台阶；超级模式是坐电梯，一步就能跨越 9 层楼。

3. 实际效果：从“几秒”到“一百万位”

论文里做了两个精彩的实验，展示了这个方法的威力：

实验一（普通模式）：
作者从一个很粗略的猜测（3.0）开始。
- 第 1 步：算出 3.1411...（准了 3 位）
- 第 2 步：准了 9 位
- 第 3 步：准了 27 位
- ...
- 第 7 步：直接算出了900 多位精确的 $\pi$ ！
- 比喻： 就像你往杯子里倒水，刚开始倒得慢，但后来水柱越来越粗，几秒钟就倒满了。
实验二（超级模式，挑战一百万位）：
这次作者想算出100 万位小数。
- 他设定了“魔法等级” $P=4$ （9 倍速）。
- 他不需要一开始就用超级计算机算 100 万位那么费劲。他采用了**“由简入繁”**的策略：
  - 第 1 步：只算 162 位（因为 18 位初始值 $\times$ 9 倍 = 162）。
  - 第 2 步：算 1458 位。
  - 第 3 步：算 1 万多位。
  - ...
  - 第 6 步：直接搞定100 多万位！
- 比喻： 就像你要盖一座摩天大楼。普通人会先打地基，然后一层层慢慢盖。而这个方法是：先盖个 1 层的小房子，然后瞬间把它复制放大成 9 层，再瞬间放大成 81 层……只要 6 次“瞬间放大”，大楼就盖好了。

4. 为什么这很厉害？

在计算机世界里，计算 $\pi$ 到几百万位通常需要极其复杂的算法和巨大的算力。但这个方法：

简单： 核心公式就是正弦函数（ $\sin$ ）和简单的加减乘除。
快：收敛速度极快（所谓的“高阶收敛”）。
灵活： 你想算多快，就调高参数 $P$ 。

总结

这篇论文就像是在说：“别再用笨办法去数 $\pi$ 的小数点了。只要你会用 $\sin$ 函数，并且愿意把‘魔法等级’ $P$ 调高，你就能像坐火箭一样，在几秒钟内从‘大概知道’飞跃到‘精确到一百万位’。”

作者还特意在 2026 年 3 月 14 日（Pi Day）发表这篇论文，就像是在给全世界的数学爱好者送了一份特别的礼物：一个让计算 $\pi$ 变得既简单又疯狂的魔法公式。

这是一份关于 Alois Schiessl 所著论文《基于正弦函数的任意奇数阶收敛定点迭代法计算圆周率 $\pi$ 》的详细技术总结。

1. 研究问题 (Problem)

计算圆周率 $\pi$ 的高精度数值是数学和计算机科学中的经典问题。传统的迭代方法（如牛顿法）通常具有二次收敛性。虽然存在更高阶的方法，但构建具有任意指定奇数阶收敛性（arbitrary odd order of convergence）的定点迭代公式，特别是基于简单的初等函数（如正弦函数）的方法，是一个具有挑战性的理论问题。本文旨在提出一种通用的定点迭代框架，能够根据参数 $P$ 灵活调整收敛阶数，从而实现 $\pi$ 的高效高精度计算。

2. 方法论 (Methodology)

2.1 理论基础

该方法基于反正弦函数（ $\arcsin$ ）的幂级数展开。已知 $\arcsin(t)$ 在 $|t| \le 1$ 时的级数展开为：
$\arcsin(t) = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{\ell=1}^{k-1} \frac{2\ell-1}{2\ell} \right) \frac{t^{2k-1}}{2k-1}$
作者取该级数的前 $P$ 项，并令 $t = \sin(x)$ 。由于 $\arcsin(\sin(\pi)) = \pi$ ，作者构造了一个截断的有限和来逼近 $\pi$ 。

2.2 迭代函数定义

定义定点迭代函数 $S(x)$ 如下：
$S(x) = x + \sum_{k=1}^{P} \left[ \left( \prod_{\ell=1}^{k-1} \frac{2\ell-1}{2\ell} \right) \frac{\sin(x)^{2k-1}}{2k-1} \right]$
迭代规则为：
$x_{n+1} = S(x_n)$
其中 $P \in \mathbb{N}$ 是控制收敛阶数的参数。

2.3 理论证明

论文通过以下步骤证明了该方法的性质：

不动点性质：证明 $S(\pi) = \pi$ 。由于 $\sin(\pi)=0$ ，求和项全部为零，故 $S(\pi)=\pi$ 。
导数性质：证明了在不动点 $\pi$ $π$ 处，函数 $S(x)$ $S (x)$ 的前 $2P$ $2 P$ 阶导数均为零，即 $S^{(k)}(\pi) = 0$ $S^{(k)} (π) = 0$ 对于 $1 \le k \le 2P$ $1 \leq k \leq 2 P$ 成立。
- 通过莱布尼茨法则（Leibniz rule）和泰勒展开，计算了 $S(x)$ 在 $\pi$ 处的 $(2P+1)$ 阶导数，得出其非零值。
收敛性：利用巴拿赫不动点定理（Banach Fixed Point Theorem），结合 $S'(\pi)=0$ 的连续性，证明了在 $\pi$ 的邻域内迭代收敛。
收敛阶数：根据泰勒展开，由于前 $2P$ 阶导数为零，误差项主要由 $(2P+1)$ 阶项主导。因此，该方法的收敛阶数精确为 $2P + 1$ （即任意奇数阶）。

2.4 数值优化策略

为了在实际计算中高效获得百万位精度的 $\pi$ ，论文提出了三项优化策略：

初始值选择：使用高精度的初始猜测值（如 18 位精度的 $\pi$ 近似值），减少迭代次数。
提高收敛阶数：选择较大的 $P$ 值（如 $P=4$ ，对应 9 阶收敛），使每次迭代正确位数呈指数级增长。
自适应精度控制：利用迭代过程的“自校正”特性，在迭代初期使用较低的浮点精度，随着迭代进行逐步增加计算精度（Digits），以避免在早期步骤中浪费计算资源。

3. 主要贡献 (Key Contributions)

通用公式构建：提出了一种基于正弦函数截断级数的通用定点迭代公式，能够生成任意奇数阶（ $3, 5, 7, \dots$ ）的收敛方法。
严格的数学证明：完整证明了该迭代函数的不动点性质、导数消失性质以及精确的收敛阶数。
高效的高精度计算方案：展示了如何通过组合高阶收敛公式、智能初始值选择和动态精度调整，在普通个人电脑上快速计算 $\pi$ 的百万位小数。

4. 实验结果 (Results)

论文使用 Maple 2025.2 软件在 AMD Ryzen 5 5600G 处理器上进行了数值测试：

案例 1 ( $P=1$ , 3 阶收敛)：
- 迭代公式简化为 $x_{n+1} = x_n + \sin(x_n)$ 。
- 初始值 $x_0 = 3$ 。
- 经过 7 次迭代，获得了超过 900 位 正确的 $\pi$ 小数。误差的指数每步大约增加 3 倍，验证了 3 阶收敛性。
案例 2 ( $P=4$ , 9 阶收敛)：
- 目标：计算 100 万位 小数。
- 初始值：18 位精度的 $\pi$ 。
- 策略：采用自适应精度，从 162 位精度开始，每步乘以 9，直到达到目标精度。
- 结果：仅需 6 次迭代 即获得了超过 100 万位 的精度（实际精度达到约 $10^{59070}$ 量级）。
- 误差分析：误差指数的增长倍数约为 9，验证了 9 阶收敛性。

5. 意义与影响 (Significance)

理论价值：该方法提供了一种简洁而优雅的数学构造，展示了如何通过简单的三角函数级数截断来控制数值迭代的收敛速度，丰富了定点迭代法的理论体系。
实用价值：证明了即使在没有超级计算机的情况下，通过合理的算法设计（高阶收敛 + 动态精度），普通 PC 也能在极短时间内完成超大规模的高精度 $\pi$ 计算。
教学与演示：该方法逻辑清晰，从级数展开到不动点定理的应用，非常适合作为数值分析和高精度计算的教学案例。

总结：Alois Schiessl 的这篇论文成功地将 $\arcsin$ 级数截断转化为一种具有任意奇数阶收敛性的定点迭代法，并通过严谨的数学推导和高效的数值实验，展示了该方法在计算 $\pi$ 时的卓越性能。