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A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function

Cet article présente une méthode d'itération de point fixe basée sur la fonction sinus permettant de calculer le nombre $\pi$ avec un ordre de convergence arbitraire et impair égal à $2P+1$ .

Auteurs originaux : Alois Schiessl

Publié 2026-03-18

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Alois Schiessl

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

🥧 La Recette Magique pour le Nombre Pi

Imaginez que le nombre Pi (π) est un trésor caché au fond d'une grotte. Pour l'atteindre, vous devez grimper une montagne très raide. La plupart des méthodes mathématiques sont comme des escaliers : vous montez une marche, puis une autre, et vous progressez lentement.

L'auteur de ce papier, Alois Schiessl, a inventé un ascenseur magique. Au lieu de monter marche par marche, cet ascenseur vous emmène directement au sommet, et plus vous appuyez sur le bouton "Go", plus la vitesse d'ascension devient vertigineuse.

Voici comment cela fonctionne, étape par étape :

1. Le Moteur de l'Ascenseur : La Fonction Sinus

Le secret de cet ascenseur réside dans une fonction mathématique appelée sinus (sin).

L'idée de base : Si vous êtes un peu loin de la valeur exacte de Pi (disons que vous êtes à 3,14 au lieu de 3,14159...), le sinus de votre position vous donne un "signal d'erreur".
La formule magique : L'auteur a créé une recette qui dit : "Prenez votre position actuelle, ajoutez-y une dose de sinus, et vous serez plus proche de la vérité."

2. Le Bouton "Super-Vitesse" (L'Ordre de Convergence)

C'est ici que la magie opère. Dans les méthodes classiques, si vous faites une erreur de 10%, la prochaine étape réduit l'erreur à 1%. C'est bien, mais lent.

Dans cette nouvelle méthode, l'auteur utilise un paramètre qu'il appelle P.

P = 1 : C'est comme un turbo. À chaque fois que vous faites une étape, le nombre de chiffres corrects est multiplié par 3. (Si vous aviez 1 chiffre juste, vous en avez 3 ensuite, puis 9, puis 27...).
P = 4 : C'est un turbo de classe supérieure. Le nombre de chiffres corrects est multiplié par 9 à chaque étape !

L'analogie du photocopieur :
Imaginez que vous avez un document avec une faute de frappe.

La méthode normale est comme de corriger une lettre à la main : ça prend du temps.
La méthode de Schiessl est comme un photocopieur qui, à chaque fois que vous le lancez, ne se contente pas de copier le document, mais corrige automatiquement 9 fois plus de fautes que la fois précédente. En quelques secondes, vous avez un document parfait.

3. La Preuve que ça marche (Le Théorème)

L'auteur ne se contente pas de dire "ça marche", il a fait les devoirs de mathématiques (les preuves) pour garantir que :

Le point d'arrivée est bien Pi : Si vous lancez la machine, elle s'arrête exactement sur la bonne valeur.
La vitesse est garantie : Il a prouvé mathématiquement que plus vous choisissez un P élevé, plus la vitesse d'approche est fulgurante.
La stabilité : Si vous commencez un peu près de la cible (par exemple avec 3,14), l'ascenseur vous emmènera toujours au sommet sans vous faire tomber.

4. L'Expérience Réelle : 1 Million de Chiffres !

Pour montrer que ce n'est pas juste de la théorie, l'auteur a testé sa méthode sur un ordinateur personnel (un PC de bureau standard, pas un supercalculateur).

Le défi : Calculer un million de décimales de Pi.
La méthode : Il a choisi P = 4 (le turbo x9).
Le résultat : En seulement 6 étapes (6 clics de souris), l'ordinateur a trouvé plus d'un million de chiffres corrects de Pi.
L'astuce de l'économie : Pour ne pas gaspiller de temps de calcul, il a commencé avec une précision faible (comme regarder une photo de loin) et a augmenté la précision à chaque étape (comme zoomer progressivement). C'est comme peindre un tableau : on commence par les grandes formes, puis on ajoute les détails au fur et à mesure.

En Résumé

Ce papier présente une nouvelle façon de calculer Pi qui est extrêmement efficace.

Avant : Pour avoir beaucoup de chiffres, il fallait des milliers d'étapes.
Maintenant : Avec cette méthode, quelques étapes suffisent pour obtenir des millions de chiffres.

C'est un peu comme passer de la marche à pied à la fusée pour atteindre la lune. L'auteur nous dit : "Ne vous contentez pas de marcher, utilisez le moteur sinus pour voler vers la précision infinie !" 🚀🥧

1. Problématique

Le calcul numérique de haute précision de la constante $\pi$ est un défi fondamental en analyse numérique. Les méthodes classiques (comme les algorithmes de Newton-Raphson appliqués à des fonctions trigonométriques ou polynomiales) offrent souvent des ordres de convergence quadratiques (ordre 2) ou cubiques (ordre 3). L'objectif de cet article est de proposer une méthode d'itération de point fixe capable d'atteindre un ordre de convergence arbitraire et impair ( $2P+1$ , où $P \in \mathbb{N}$ ), permettant ainsi d'augmenter exponentiellement le nombre de chiffres corrects à chaque itération.

2. Méthodologie

Définition de la fonction itérative

L'auteur définit une fonction $S(x)$ basée sur la série de puissance de la fonction arcsinus, tronquée après $P$ termes, avec la substitution $t = \sin(x)$ . La fonction est définie comme suit :

$S(x) = x + \sum_{k=1}^{P} \left( \prod_{\ell=1}^{k-1} \frac{2\ell-1}{2\ell} \right) \frac{\sin(x)^{2k-1}}{2k-1}$

L'itération est alors donnée par la suite :
$x_{n+1} = S(x_n)$

Preuve théorique

Le cœur de la méthodologie réside dans l'analyse des dérivées de $S(x)$ au point fixe $\pi$ . L'article démontre rigoureusement les propriétés suivantes :

Point fixe : $S(\pi) = \pi$ .
Annulation des dérivées : Pour tout $k$ tel que $1 \le k \le 2P$ , la dérivée $k$ -ième de $S$ en $\pi$ est nulle :
$S^{(k)}(\pi) = 0$
Dérivée non nulle d'ordre supérieur : La première dérivée non nulle apparaît à l'ordre $2P+1$ :
$S^{(2P+1)}(\pi) = \left( \prod_{\ell=1}^{P} (2\ell-1) \right)^2$

Grâce au théorème de Taylor, cela implique que l'erreur $e_{n+1} = x_{n+1} - \pi$ est proportionnelle à $(x_n - \pi)^{2P+1}$ , confirmant un ordre de convergence de $2P+1$ . La convergence est garantie par le théorème du point fixe de Banach, car $S'(\pi) = 0$ implique l'existence d'un voisinage où la fonction est une contraction.

Optimisations pratiques

Pour des calculs à très haute précision, l'auteur propose trois stratégies d'optimisation :

Choix d'un point de départ précis : Utilisation d'une approximation initiale $x_0$ déjà proche de $\pi$ (ex: 18 décimales).
Augmentation de l'ordre de convergence : Choix d'un $P$ élevé (ex: $P=4$ pour un ordre 9) pour multiplier le nombre de chiffres corrects par $2P+1$ à chaque étape.
Arithmétique adaptative (Self-correcting) : Au lieu de calculer chaque itération avec la précision finale souhaitée, la précision numérique (nombre de chiffres significatifs) est augmentée progressivement à chaque itération, suivant la croissance de l'erreur. Cela réduit considérablement le temps de calcul.

3. Résultats

L'auteur a validé la méthode à l'aide du système d'algèbre informatique Maple 2025.2 sur un PC standard (CPU AMD Ryzen 5).

Cas $P=1$ (Ordre 3) :
- Fonction : $S(x) = x + \sin(x)$ .
- Avec une valeur initiale $x_0 = 3$ , l'algorithme a atteint une précision de plus de 900 décimales en seulement 7 itérations. L'erreur diminue avec un facteur d'exposant triplant à chaque étape (convergence cubique).
Cas $P=4$ (Ordre 9) :
- Fonction : $S(x) = x + \sin(x) + \frac{1}{6}\sin^3(x) + \frac{3}{40}\sin^5(x) + \frac{5}{112}\sin^7(x)$ .
- Avec $x_0 = 3.14159265358979324$ (18 décimales), l'algorithme a calculé plus d'un million de décimales de $\pi$ en 6 itérations.
- L'utilisation de l'arithmétique adaptative a permis de passer de 162 chiffres de précision à plus de 1 million de chiffres de manière efficace.

4. Contributions Clés

Généralisation de l'ordre de convergence : La méthode permet d'atteindre n'importe quel ordre de convergence impair ( $3, 5, 7, \dots$ ) simplement en augmentant le paramètre $P$ , contrairement aux méthodes classiques souvent limitées à l'ordre 2 ou 4.
Simplicité structurelle : Malgré la complexité théorique des dérivées, la fonction itérative ne repose que sur des opérations élémentaires (addition, multiplication) et la fonction sinus, ce qui la rend facile à implémenter.
Efficacité computationnelle : La démonstration que l'on peut combiner un ordre de convergence élevé avec une stratégie de précision adaptative rend le calcul de millions de décimales extrêmement rapide, même sur du matériel grand public.

5. Signification

Cet article présente une approche élégante et puissante pour le calcul de $\pi$ . En exploitant la structure de la série de Taylor de l'arcsinus et la propriété d'annulation des dérivées du sinus en $\pi$ , l'auteur propose un algorithme qui surpasse en vitesse de convergence de nombreux algorithmes standards pour les hautes précisions.

La méthode est particulièrement significative car elle démontre qu'il n'est pas nécessaire d'utiliser des algorithmes complexes (comme ceux de Chudnovsky ou les algorithmes de type BBP) pour obtenir une convergence rapide ; une simple itération de point fixe, correctement conçue et optimisée, suffit. Cela ouvre des perspectives pour l'enseignement de l'analyse numérique et pour des implémentations logicielles légères nécessitant une haute précision.