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On the series expansion of the prime zeta function about $s=1$ and its coefficients

Der Artikel leitet eine Reihenentwicklung der Primzahlfunktion um die logarithmische Singularität bei $s=1$ her, beweist eine allgemeine Formel für die Koeffizienten dieser Entwicklung und verifiziert diese numerisch, wobei die Ergebnisse als Verallgemeinerung der Mertensschen Sätze auf höhere Ordnungen betrachtet werden können.

Ursprüngliche Autoren: Artur Kawalec

Veröffentlicht 2026-03-24

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Artur Kawalec

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, die Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, ...) sind wie die winzigen, unsichtbaren Bausteine, aus denen das gesamte Universum der Zahlen besteht. Mathematiker versuchen seit Jahrhunderten, das Muster zu verstehen, wie diese Bausteine verteilt sind.

In diesem Artikel untersucht der Autor Artur Kawalec eine spezielle mathematische Maschine, die man Prim-Zeta-Funktion nennt. Diese Maschine zählt im Grunde alle Primzahlen auf, aber auf eine sehr raffinierte Weise, die uns hilft, ihre Verteilung zu verstehen.

Hier ist die einfache Erklärung der wichtigsten Punkte, verpackt in Alltagsanalogien:

1. Das Problem: Der "Kipppunkt" bei 1

Stellen Sie sich die Prim-Zeta-Funktion als eine Kurve vor, die wir zeichnen können. Für die meisten Zahlen funktioniert das wunderbar. Aber genau bei der Zahl 1 passiert etwas Seltsames: Die Kurve explodiert förmlich. Sie wird unendlich groß.

In der Mathematik nennen wir das eine Singularität. Es ist wie ein schwarzes Loch im Universum der Zahlen, in das man nicht direkt hineinschauen kann, ohne dass die Formel zusammenbricht.

2. Die Lösung: Eine Landkarte um das Chaos herum

Der Autor sagt: "Okay, wir können nicht direkt auf den Kipppunkt schauen, aber wir können eine Landkarte um ihn herum zeichnen."

Er entwickelt eine Formel, die wie eine Zerlegung in Schichten funktioniert:

Die Kernschicht (Der Lärm): Das ist der Teil, der explodiert (der Logarithmus). Das ist das unvermeidliche Chaos bei der Zahl 1.
Die äußeren Schichten (Die Ordnung): Um das Chaos herum gibt es eine glatte, ordentliche Schicht. Diese Schicht besteht aus einer Reihe von Zahlen (den Koeffizienten $\alpha_n$ ), die uns sagen, wie sich die Primzahlen genau in der Nähe des Chaos verhalten.

Der Autor hat nun eine Art "Rezept" gefunden, um diese Zahlen für die äußeren Schichten zu berechnen.

3. Die zwei Methoden: Der langsame Spaziergang vs. der Expresszug

Um diese Zahlen zu berechnen, gibt es im Papier zwei Wege:

Der langsame Spaziergang (Die direkte Methode): Man zählt Primzahlen einzeln auf, bis man unendlich weit kommt. Das ist wie der Versuch, den Ozean mit einem Eimer leer zu schöpfen. Es funktioniert theoretisch, aber es dauert ewig und ist sehr ungenau.
Der Expresszug (Die Möbius-Methode): Der Autor nutzt einen cleveren Trick (die Möbius-Inversion), der wie ein Hochgeschwindigkeitszug ist. Er nutzt andere bekannte mathematische Funktionen (die Riemannsche Zeta-Funktion), um die gesuchten Zahlen viel schneller und genauer zu berechnen.

4. Die Entdeckung: Ein neuer "Meister-Index"

Das Hauptergebnis des Papers ist eine neue Formel, die diese mysteriösen Zahlen ( $\alpha_n$ ) berechnet.

Die erste dieser Zahlen ( $\alpha_0$ ) ist fast identisch mit einer berühmten Konstanten, die Mertens-Konstante genannt wird. Diese Konstante ist wie ein "Fingerabdruck" der Primzahlen.
Der Autor zeigt, dass man diese Konstante nicht nur für den ersten Schritt ( $\alpha_0$ ) kennt, sondern für alle folgenden Schritte ( $\alpha_1, \alpha_2, \dots$ ) berechnen kann.

Man kann sich das wie eine Treppe vorstellen:

Die ersten Stufen (die bekannten Theoreme von Mertens) kannte man schon.
Der Autor hat nun die Baupläne für die nächsten 100 Stufen gefunden und sogar die ersten 10 Stufen bis auf viele Nachkommastellen genau vermessen (siehe Tabelle 1 im Text).

5. Warum ist das wichtig?

Warum sollte sich jemand dafür interessieren?
Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, das Wetter vorherzusagen. Sie wissen, dass es stürmisch wird (das Chaos bei 1). Aber wenn Sie genau wissen, wie sich die Luftdruckwerte kurz vor dem Sturm verhalten (die Koeffizienten $\alpha_n$ ), können Sie viel präzisere Modelle bauen.

Dieses Papier erweitert die bekannten Gesetze der Primzahlen (die Mertensschen Theoreme) auf ein höheres Niveau. Es gibt uns ein genaueres Werkzeug, um zu verstehen, wie die Primzahlen "atmen", wenn wir uns dem kritischen Punkt 1 nähern.

Zusammenfassend:
Der Autor hat eine neue Art gefunden, das Chaos der Primzahlen bei der Zahl 1 zu beschreiben. Er hat nicht nur bewiesen, dass man das Chaos in eine ordentliche Liste von Zahlen zerlegen kann, sondern hat auch die genauen Werte für diese Liste berechnet. Es ist wie das Erstellen einer detaillierten Landkarte für eine Gegend, die bisher nur als "unbegehbar" galt.

1. Problemstellung

Die Prim-Zeta-Funktion $P(s) = \sum_{p} p^{-s}$ ist für $\Re(s) > 1$ definiert und besitzt eine logarithmische Singularität (Zweigpunkt) bei $s=1$ . Ähnlich wie die Riemannsche Zeta-Funktion $\zeta(s)$ lässt sich $P(s)$ durch die Möbius-Inversion auf $\Re(s) > 0$ fortsetzen, wobei sie dort logarithmische Singularitäten bei $s = 1/n$ und bei den nicht-trivialen Nullstellen $\rho_n$ aufweist.

Das zentrale Problem dieses Artikels besteht darin, eine Reihenentwicklung der Prim-Zeta-Funktion um den singulären Punkt $s=1$ zu finden. Da $P(s)$ bei $s=1$ divergiert, muss die Entwicklung den logarithmischen Hauptteil explizit abspalten, um einen regulären Teil zu erhalten, dessen Koeffizienten ( $\alpha_n$ ) bestimmt werden sollen. Bisherige Ergebnisse beschränkten sich weitgehend auf den Fall $n=0$ (Mertenssche Theoreme); eine allgemeine Formel für höhere Ordnungen fehlte.

2. Methodik

Der Autor verfolgt einen analytischen Ansatz, der auf der Stieltjes-Integration und der Beziehung zwischen der Primzahlzählfunktion $\pi(x)$ und dem Logarithmus-Integral $\text{li}(x)$ basiert.

Definition der Entwicklung: Die Funktion wird als
$P(s) = \log\left(\frac{1}{s-1}\right) + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha_n}{n!} (s-1)^n$
definiert. Der reguläre Teil ist auf einer Scheibe mit Radius $R=1/2$ analytisch.
Verknüpfung mit $\zeta(s)$ : Durch Einsetzen der Möbius-Inversionsformel $P(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns)$ wird die Struktur der Koeffizienten $\alpha_n$ mit den Koeffizienten $g_n$ der Entwicklung von $\log \zeta(s)$ um $s=1$ verknüpft.
Stieltjes-Integration: Um die Koeffizienten direkt aus der Verteilung der Primzahlen zu gewinnen, wird die Summe über Primzahlen in ein Integral über die Differenz $f(t) = \pi(t) - \text{li}(t)$ umgewandelt. Dabei wird die bekannte asymptotische Abschätzung $f(t) = O(\sqrt{t} \log t)$ (unter Annahme der Riemannschen Hypothese) genutzt, um die Konvergenz der Integrale zu sichern.
Analytische Fortsetzung: Durch die Darstellung von $P(s)$ als Integral über $f(t)$ wird gezeigt, dass die Funktion für $\Re(s) > 1/2$ analytisch fortsetzbar ist (mit einem Verzweigungsschnitt).

3. Hauptbeiträge und Ergebnisse

Theorem 1: Grenzwertformeln für die Koeffizienten

Der Artikel leitet allgemeine Grenzwertformeln für die Koeffizienten $\alpha_n$ her, die analog zu den Stieltjes-Konstanten für $\zeta(s)$ sind:

Für $n=0$ :
$\alpha_0 = \lim_{x \to \infty} \left( \sum_{p \le x} \frac{1}{p} - \log \log x \right) - \gamma$
Dies entspricht der Meissel-Mertens-Konstante $M$ abzüglich der Euler-Mascheroni-Konstante $\gamma$ .
Für $n \ge 1$ :
$\alpha_n = \lim_{x \to \infty} (-1)^n \left( \sum_{p \le x} \frac{\log^n p}{p} - \frac{\log^n x}{n} \right)$
Diese Formeln zeigen, dass die Koeffizienten durch die Abweichung der Summen über Primzahlen von ihren asymptotischen Haupttermen bestimmt werden.

Theorem 2: Darstellung über $\zeta(s)$ und Stieltjes-Konstanten

Da die Grenzwertformeln aus Theorem 1 sehr langsam konvergieren, leitet der Autor eine schnell konvergierende Darstellung her, die auf der Möbius-Inversion basiert:
$\alpha_n = g_n + \left. \frac{d^n}{ds^n} \left[ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\mu(k)}{k} \log \zeta(ks) \right] \right|_{s \to 1}$
Hierbei sind $g_n$ die bekannten Koeffizienten der Entwicklung von $\log \zeta(s)$ um $s=1$ , die sich rekursiv durch die Stieltjes-Konstanten $\gamma_k$ ausdrücken lassen. Der Autor listet explizite Formeln für $g_0$ bis $g_6$ auf.

Theorem 3: Integraldarstellung

Eine alternative Formel wird hergeleitet, die die Koeffizienten direkt als Integral über die Fehlerfunktion $f(t) = \pi(t) - \text{li}(t)$ ausdrückt:
$\alpha_n = (-1)^n \int_1^{\infty} \frac{\log^n t - n \log^{n-1} t}{t^2} [\pi(t) - \text{li}(t)] \, dt$
Dies verbindet die analytischen Eigenschaften von $P(s)$ direkt mit der Verteilung der Primzahlen.

Numerische Ergebnisse

Der Autor berechnet die ersten 10 Koeffizienten $\alpha_0$ bis $\alpha_{10}$ mit hoher Präzision (30 Dezimalstellen) und stellt sie in einer Referenztabelle bereit. Beispiele:

$\alpha_0 \approx -0.315718...$
$\alpha_1 \approx 1.332582...$
$\alpha_2 \approx -2.555107...$

4. Bedeutung und Fazit

Verallgemeinerung der Mertensschen Theoreme: Die Ergebnisse stellen eine Verallgemeinerung der klassischen Mertensschen Theoreme (die den Fall $n=0$ behandeln) auf höhere Ordnungen dar.
Neue Konstanten: Für $n \ge 2$ wurden bisher in der Literatur nicht weit verbreitete Konstanten definiert und numerisch berechnet.
Effiziente Berechnung: Der Artikel liefert einen praktikablen Weg zur hochpräzisen Berechnung dieser Koeffizienten durch die Nutzung der Möbius-Reihe (Theorem 2), da die direkte Summation über Primzahlen (Theorem 1) zu langsam konvergiert.
Analytisches Verständnis: Die Arbeit klärt die Struktur der Singularität von $P(s)$ bei $s=1$ und zeigt, wie sich die Eigenschaften der Riemannschen Zeta-Funktion auf die Prim-Zeta-Funktion übertragen lassen.

Zusammenfassend liefert der Artikel eine vollständige analytische Beschreibung der Taylor-Reihe der regulären Komponente der Prim-Zeta-Funktion um ihren Pol und stellt sowohl theoretische Formeln als auch numerische Referenzwerte für zukünftige Forschungen in der analytischen Zahlentheorie bereit.