On the series expansion of the prime zeta function about $s=1$ and its coefficients

Resumo Técnico: Expansão em Série da Função Zeta dos Primos em torno de $s=1$

1. O Problema

A Função Zeta dos Primos, definida como $P(s) = \sum_{p} p^{-s}$ (onde $p$ percorre os números primos), é uma função analítica para $\Re(s) > 1$. No entanto, através da fórmula de inversão de Möbius, ela pode ser continuada para $\Re(s) > 0$, revelando singularidades logarítmicas (pontos de ramificação) em $s = 1/n$ e nos zeros não triviais da função zeta de Riemann ($\rho_n$).

O problema central abordado no artigo é a caracterização precisa do comportamento de $P(s)$ em torno da sua singularidade mais importante em $s = 1$. Embora seja sabido que $P(s)$ possui uma singularidade logarítmica nesse ponto, não existia uma fórmula geral explícita e rigorosa para os coeficientes da sua expansão em série de Taylor (ou Laurent generalizada) que separasse a parte singular da parte regular. Além disso, a conexão direta entre esses coeficientes e constantes conhecidas (como as constantes de Stieltjes) e sua relação com generalizações de alta ordem dos Teoremas de Mertens necessitava de uma derivação formal.

2. Metodologia

O autor emprega uma combinação de análise complexa, teoria dos números analítica e integração de Stieltjes para derivar os resultados:

• Definição da Ramificação: Define-se um ramo de $P(s)$ através de uma expansão em série em torno de $s=1$:
  $$P(s) = \log\left(\frac{1}{s-1}\right) + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha_n}{n!} (s-1)^n$$
  O objetivo é determinar os coeficientes $\alpha_n$.
• Integração de Stieltjes: O autor utiliza a função de contagem de primos $\pi(x)$ e a função logarítmica integral $\text{li}(x)$. A diferença $f(x) = \pi(x) - \text{li}(x)$ é tratada como o termo de erro (assumindo a Hipótese de Riemann, $f(x) = O(\sqrt{x} \log x)$).
• Derivação via Limites: Para os coeficientes $\alpha_n$, são estabelecidas fórmulas de limite envolvendo somas sobre primos e potências de logaritmos, análogas às constantes de Stieltjes para a função zeta de Riemann.
• Uso da Inversão de Möbius: A representação de $P(s)$ via a função zeta de Riemann $\zeta(s)$ e a função de Möbius $\mu(n)$ é utilizada para obter fórmulas de convergência mais rápida para o cálculo numérico dos coeficientes.
• Expansão de Séries: O autor realiza manipulações algébricas nas integrais definidas para conectar os coeficientes da expansão de $P(s)$ com os coeficientes da expansão de $\log \zeta(s)$ e suas derivadas.

3. Principais Contribuições e Resultados

O artigo apresenta três teoremas fundamentais:

Teorema 1: Fórmulas de Limite para os Coeficientes
Estabelece uma fórmula geral para os coeficientes $\alpha_n$ baseada em limites de somas sobre primos:

• Para $n=0$:
  $$\alpha_0 = \lim_{x \to \infty} \left( \sum_{p \le x} \frac{1}{p} - \log \log x \right) - \gamma$$
  Onde $\gamma$ é a constante de Euler-Mascheroni. Este resultado conecta $\alpha_0$ à constante de Meissel-Mertens ($M$), resultando em $\alpha_0 = M - \gamma$.
• Para $n \ge 1$:
  $$\alpha_n = \lim_{x \to \infty} (-1)^n \left( \sum_{p \le x} \frac{\log^n p}{p} - \frac{\log^n x}{n} \right)$$
  Estas fórmulas generalizam os Teoremas de Mertens para ordens superiores.

Teorema 2: Representação via Função Zeta de Riemann
Fornece uma fórmula computacionalmente mais eficiente (convergência rápida) expressando $\alpha_n$ em termos das derivadas de $\log \zeta(s)$ e da função de Möbius:
$$\alpha_n = g_n + \left. \frac{d^n}{ds^n} \left[ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\mu(k)}{k} \log \zeta(ks) \right] \right|_{s \to 1}$$
Onde $g_n$ são os coeficientes de expansão de $\log \zeta(s)$ em torno de $s=1$, expressos em termos das constantes de Stieltjes ($\gamma_k$). O artigo fornece as primeiras expressões explícitas para $g_0$ até $g_6$.

Teorema 3: Representação Integral
Deriva uma fórmula alternativa para os coeficientes como integrais definidas envolvendo a função de erro $f(t) = \pi(t) - \text{li}(t)$:
$$\alpha_n = (-1)^n \int_{1}^{\infty} \frac{\log^n t - n \log^{n-1} t}{t^2} [\pi(t) - \text{li}(t)] \, dt$$
Esta representação conecta diretamente os coeficientes da série à distribuição dos números primos.

Resultados Numéricos:
O autor calculou os primeiros 10 coeficientes ($\alpha_0$ a $\alpha_{10}$) com alta precisão (30 dígitos), fornecendo uma tabela de referência. Por exemplo:

• $\alpha_0 \approx -0.315718...$
• $\alpha_1 \approx 1.332582...$
• $\alpha_2 \approx -2.555107...$

4. Significado e Impacto

• Generalização dos Teoremas de Mertens: O trabalho estende os clássicos Teoremas de Mertens (que tratam da soma de $1/p$ e $1/p \log p$) para ordens arbitrárias $n$, fornecendo uma estrutura unificada para entender a densidade e distribuição dos primos em escalas logarítmicas superiores.
• Conexão com a Função Zeta de Riemann: Ao expressar os coeficientes de $P(s)$ através das constantes de Stieltjes e derivadas de $\zeta(s)$, o artigo reforça a ligação profunda entre a função zeta dos primos e a função zeta de Riemann, permitindo o uso de ferramentas de alta precisão já desenvolvidas para $\zeta(s)$ no estudo de $P(s)$.
• Continuação Analítica e Singularidades: O artigo esclarece a estrutura analítica de $P(s)$, definindo um corte de ramo (branch cut) e provando que a parte regular da expansão é analítica num disco de raio $R=1/2$ em torno de $s=1$.
• Ferramentas Computacionais: As fórmulas derivadas (especialmente o Teorema 2) oferecem métodos viáveis para calcular esses coeficientes com alta precisão, algo que seria impossível usando apenas as fórmulas de limite (Teorema 1) devido à sua convergência extremamente lenta.

Em suma, o artigo preenche uma lacuna teórica ao fornecer uma descrição completa e calculável da expansão local da função zeta dos primos, unificando conceitos de análise complexa, teoria dos números e computação de alta precisão.