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On the series expansion of the prime zeta function about $s=1$ and its coefficients

本文推导了素数 zeta 函数在 $s=1$ 对数奇点处的级数展开式，证明了其展开系数的通用公式（该公式类似于黎曼 zeta 函数的 Stieltjes 系数），从而将默滕斯定理推广至高阶，并通过高精度数值计算验证了这些结果。

原作者： Artur Kawalec

发布于 2026-03-24

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原作者： Artur Kawalec

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

这篇文章就像是在试图破解宇宙中“质数”（2, 3, 5, 7...）分布的终极密码。

为了让你轻松理解，我们可以把这篇论文想象成一位名叫Artur Kawalec的数学家，正在修理一台精密但有点“漏电”的机器。

1. 核心角色：质数与“质数黎曼函数”

想象一下，质数（2, 3, 5, 7...）是宇宙中散落的星星。
数学家们发明了一个叫**“质数黎曼函数”（Prime Zeta Function, $P(s)$ ）**的望远镜，用来观察这些星星的分布规律。

正常情况：当你的望远镜聚焦在安全区域（数学上叫 $s > 1$ ）时，画面清晰，星星的分布很有规律。
故障点（ $s=1$ ）：但是，当你试图把望远镜对准一个特定的点（ $s=1$ ）时，画面突然炸了！这里有一个巨大的“黑洞”或“奇点”。在这个点上，函数值趋向于无穷大，就像望远镜的镜头被强光烧坏了一样。

2. 论文的目标：修补镜头，看清细节

这篇论文的主要工作，就是在这个“爆炸点”（ $s=1$ ）旁边，重新画一张精细的地图。

以前的做法：大家知道这里会爆炸，但不知道爆炸后剩下的“碎片”（也就是函数的具体数值）长什么样。
Kawalec 的做法：他不仅描述了爆炸（对数奇点），还推导出了一个超级公式。这个公式能把爆炸后的剩余部分拆解成无数个微小的零件（系数 $\alpha_n$ ）。

打个比方：
想象 $s=1$ 是一个巨大的火山口。

以前的数学家说：“这里很危险，全是岩浆（对数项 $\log(\frac{1}{s-1})$ ）。”
Kawalec 说：“别怕，岩浆喷发后，周围会落下很多特定的岩石（系数 $\alpha_n$ ）。我不仅找到了这些岩石，还给了你一套精确的配方，告诉你每一块岩石的大小和形状。”

3. 两个重要的“配方”（定理）

论文给出了两种计算这些“岩石”（系数）的方法：

方法一：慢速但直观的“数石头法”（定理 1）

这就像是你站在河边，试图通过数河里的石头来推算河流的流量。

原理：你从 2 开始，把所有质数加起来，减去一个不断增长的“噪音”（对数项），最后剩下的那个常数，就是我们要找的系数。
缺点：这就像在沙滩上数沙子，太慢了！你需要数到无穷大才能得到一个准确数字，而且稍微数错一个，结果就全偏了。

方法二：快速精准的“魔法公式法”（定理 2）

这是论文最厉害的地方！Kawalec 发现，其实不需要去数那些无穷多的石头。

原理：他利用了一个更强大的工具——莫比乌斯函数（Möbius function）。这就像是一个**“魔法过滤器”**。
比喻：如果你用“数石头法”是在大海里捞针，那么“魔法公式法”就是直接拿了一张藏宝图。他利用已知的、更稳定的数学工具（黎曼 $\zeta$ 函数的性质），通过一个复杂的公式，直接算出了那些系数的精确值。
结果：这种方法计算速度极快，精度极高。他在论文里列出的表格（Table 1），就是用这个“魔法”算出来的前 10 个系数的精确值。

4. 为什么这很重要？（梅滕斯定理的升级版）

在数学史上，有一个著名的梅滕斯定理（Mertens's Theorems），它描述了质数倒数和的规律（就像论文里的第 0 个系数）。

以前的认知：大家只知道第 0 个系数（ $n=0$ ）是什么。
现在的突破：Kawalec 把梅滕斯定理升级了！他不仅算出了第 0 个，还算出了第 1 个、第 2 个、甚至第 10 个系数。
意义：这就像我们以前只知道地球是圆的，现在不仅知道了它是圆的，还精确测量了它的赤道周长、极半径，甚至地壳的厚度。这让我们对质数在 $s=1$ 附近的“行为”有了前所未有的深刻理解。

5. 总结：这篇论文讲了什么？

发现问题：质数黎曼函数在 $s=1$ 处有个大爆炸（奇点）。
提出方案：把爆炸后的残留物拆解成一系列系数（ $\alpha_n$ ）。
提供工具：
- 一种慢速的“数数法”（理论推导）。
- 一种快速的“魔法公式”（利用莫比乌斯函数和黎曼 $\zeta$ 函数，这是论文的核心贡献）。
实际成果：计算出了前 10 个系数的超高精度数值，并证明了这些系数与著名的“梅滕斯常数”和“欧拉常数”有着深刻的联系。

一句话总结：
这篇论文就像是为质数分布的“爆炸现场”绘制了一份高精度的法医报告，不仅解释了爆炸的原因，还精确计算了爆炸后每一块碎片的重量，让我们能更清晰地看清质数在数学宇宙中的真实面貌。

以下是基于 Artur Kawalec 论文《On the series expansion of the prime zeta function about s = 1 and its coefficients》（关于素数 zeta 函数在 s=1 处的级数展开及其系数）的详细技术总结：

1. 研究问题 (Problem)

素数 zeta 函数 $P(s) = \sum_{p} p^{-s}$ 在复平面 $\Re(s) > 1$ 上定义，并通过莫比乌斯反演公式与黎曼 zeta 函数 $\zeta(s)$ 相关联。该函数在 $s=1$ 处具有对数奇点（对数分支点），且在 $s=1/n$ 及非平凡零点处存在其他奇点。
尽管 $P(s)$ 在 $s=1$ 附近的行为已知（表现为 $\log(\frac{1}{s-1})$ 发散），但关于其正则部分（regular part）的泰勒级数展开系数的通用公式尚未被系统性地推导和明确化。此外，这些系数与梅滕斯定理（Mertens's Theorems）的高阶推广以及黎曼 zeta 函数的斯蒂尔切斯常数（Stieltjes constants）之间的精确联系需要进一步阐明。

2. 方法论 (Methodology)

作者采用了一种结合解析数论、积分变换和渐近分析的方法：

定义展开式：将 $P(s)$ 在 $s=1$ 附近定义为：
$P(s) = \log\left(\frac{1}{s-1}\right) + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha_n}{n!} (s-1)^n$
其中 $\alpha_n$ 是待求的展开系数。
积分表示与分部积分：利用素数计数函数 $\pi(x)$ 与对数积分 $\text{li}(x)$ 的关系，引入余项 $f(x) = \pi(x) - \text{li}(x)$ 。通过斯特尔切斯积分（Stieltjes integration）将素数求和转化为积分形式。
渐近分析：利用素数定理的误差项估计（假设黎曼猜想 RH，即 $f(x) = O(\sqrt{x}\log x)$ ），处理积分中的发散项，从而提取出收敛的常数项。
莫比乌斯反演：利用 $P(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns)$ 这一关系，将 $P(s)$ 的展开系数与 $\log \zeta(s)$ 的展开系数（即斯蒂尔切斯常数相关项 $g_n$ ）联系起来。
微分与极限操作：通过对 $P(s)$ 减去奇点项后求导，并结合 $\log \zeta(s)$ 的已知展开式，推导出 $\alpha_n$ 的显式公式。

3. 关键贡献 (Key Contributions)

A. 系数极限公式 (Theorem 1)

作者推导出了展开系数 $\alpha_n$ 的极限定义公式，这是对梅滕斯定理的高阶推广：

对于 $n=0$ ：
$\alpha_0 = \lim_{x\to\infty} \left( \sum_{p\le x} \frac{1}{p} - \log \log x \right) - \gamma$
其中 $\gamma$ 为欧拉常数。这直接关联到梅滕斯常数 $M$ 。
对于 $n \ge 1$ ：
$\alpha_n = \lim_{x\to\infty} (-1)^n \left( \sum_{p\le x} \frac{\log^n p}{p} - \frac{\log^n x}{n} \right)$
该公式揭示了素数对数幂和与对数积分项之间的渐近差值。

B. 基于 zeta 函数的显式表达 (Theorem 2)

作者证明了 $\alpha_n$ 可以通过黎曼 zeta 函数的导数及莫比乌斯函数表示，提供了比极限公式收敛速度快得多的计算方法：
$\alpha_n = g_n + \frac{d^n}{ds^n} \left[ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\mu(k)}{k} \log \zeta(ks) \right]_{s=1}$
其中 $g_n$ 是 $\log \zeta(s)$ 在 $s=1$ 处的展开系数，完全由斯蒂尔切斯常数（ $\gamma_k$ ）的多项式构成。作者给出了 $g_0$ 到 $g_6$ 的具体递推表达式。

C. 积分表示 (Theorem 3)

推导出了 $\alpha_n$ 的积分表示形式，将系数与素数分布的误差项 $f(t)$ 直接联系：
$\alpha_n = (-1)^n \int_1^{\infty} \frac{\log^n t - n \log^{n-1} t}{t^2} [\pi(t) - \text{li}(t)] dt$

4. 主要结果 (Results)

系数数值表：作者利用基于莫比乌斯反演的快速收敛公式，高精度计算了前 10 个系数 $\alpha_n$ $α_{n}$ （精确到 30 位小数）。
- $\alpha_0 \approx -0.315718...$ (OEIS A143524)
- $\alpha_1 \approx 1.332582...$ (对应梅滕斯第二定理的推广)
- $\alpha_2 \approx -2.555107...$
- 随着 $n$ 增大，系数绝对值迅速增长（例如 $\alpha_{10} \approx -1.93 \times 10^8$ ）。
理论验证：
- 验证了 $n=0$ 和 $n=1$ 的情况与经典的梅滕斯定理（Meissel-Mertens constant 和 Mertens' second theorem）完全一致。
- 证明了 $P(s)$ 在 $s=1$ 处的解析延拓区域为 $\Re(s) > 1/2$ （假设 RH 成立），且存在分支割线 $(1/2, 1]$ 。
收敛性对比：指出了直接基于素数求和的极限公式（Theorem 1）收敛极慢，而基于 $\zeta(s)$ 和莫比乌斯函数的级数（Theorem 2）具有极高的计算效率。

5. 意义 (Significance)

理论深化：该工作将梅滕斯定理从一阶（ $n=0, 1$ ）推广到了任意高阶，建立了素数 zeta 函数局部展开与黎曼 zeta 函数全局性质（斯蒂尔切斯常数）之间的深刻联系。
计算工具：提供了计算素数相关常数的高精度算法。由于直接对素数求和收敛极慢，基于 $\zeta(s)$ 的公式对于数值计算至关重要。
解析性质：明确了 $P(s)$ 在 $s=1$ 附近的解析结构，包括其收敛半径（ $R=1/2$ ）和分支割线位置，为研究素数分布的精细结构提供了新的解析工具。
一般化：这些结果不仅适用于素数 zeta 函数，其方法论（处理对数奇点与正则部分的分离）也可应用于其他涉及素数分布的 Dirichlet 级数研究。

总结而言，这篇论文通过严谨的解析推导和高精度数值验证，完整刻画了素数 zeta 函数在奇点 $s=1$ 处的局部行为，给出了计算其展开系数的通用公式，并成功将其与数论中的经典常数（如欧拉常数、斯蒂尔切斯常数）统一起来。