On the series expansion of the prime zeta function about $s=1$ and its coefficients

Probleemstelling

De primaire zeta-functie, gedefinieerd als $P(s) = \sum_p p^{-s}$ (waarbij de som loopt over alle priemgetallen), convergeert absoluut voor $\Re(s) > 1$. Een fundamenteel probleem in de analytische getaltheorie is het begrijpen van het gedrag van deze functie in de buurt van de singulieriteit bij $s=1$.

• De functie heeft een logaritmische singulieriteit (takpunt) bij $s=1$.
• Door de relatie met de Riemann-zeta-functie via de Möbius-inversie, $P(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns)$, ontstaan er ook singulieriteiten bij $s = 1/n$ en bij de niet-triviale nulpunten van de zeta-functie.
• Er bestaat geen eenduidige reeksontwikkeling (Taylorreeks) rond $s=1$ vanwege deze logaritmische term. Het doel van het artikel is om een reeksontwikkeling van $P(s)$ rond $s=1$ af te leiden die de logaritmische term expliciet isoleert, en om een algemene formule te vinden voor de coëfficiënten van de reguliere (analytische) deel van deze reeks.

Methodologie

De auteur hanteert een combinatie van analytische methoden en numerieke verificatie:

1. Definitie van de expansie:
   De functie wordt geschreven als:
   $$P(s) = \log\left(\frac{1}{s-1}\right) + \sum_{n=0}^\infty \alpha_n \frac{(s-1)^n}{n!}$$
   Het doel is het bepalen van de coëfficiënten $\alpha_n$.

2. Stieltjes-integratie en asymptotische analyse:

   • De auteur gebruikt de priemtelfunctie $\pi(x)$ en de logaritmische integraal $\text{li}(x)$.
   • Het verschil $f(x) = \pi(x) - \text{li}(x)$ wordt geanalyseerd (onder de aanname van de Riemann-hypothese is $f(x) = O(\sqrt{x} \log x)$).
   • Door partiële integratie (Stieltjes-integratie) van de sommen $\sum_{p \le x} \frac{\log^m(p)}{p}$ wordt een relatie gelegd tussen deze sommen en integralen over $f(t)$.

3. Afleiding van limietformules:
   Door de divergente delen van de sommen en de logaritmische termen te laten wegvallen, worden limietformules voor de coëfficiënten $\alpha_n$ afgeleid.

4. Relatie met de Riemann-zeta-functie:
   De auteur maakt gebruik van de bekende expansie van $\log \zeta(s)$ rond $s=1$, waarbij de coëfficiënten worden uitgedrukt in termen van de Stieltjes-constanten ($\gamma_k$). Door de Möbius-inversieformule te differentiëren, wordt een snellere convergerende reeks voor $\alpha_n$ gevonden.

5. Numerieke validatie:
   De afgeleide formules worden numeriek geïmplementeerd om de eerste 10 coëfficiënten met hoge precisie te berekenen.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Het artikel presenteert drie hoofdstellingen:

1. Limietformules voor de coëfficiënten (Stelling 1)
De auteur levert een algemene formule voor de coëfficiënten $\alpha_n$ gebaseerd op limieten van sommen over priemgetallen:

• Voor $n=0$:
  $$\alpha_0 = \lim_{x \to \infty} \left( \sum_{p \le x} \frac{1}{p} - \log \log x \right) - \gamma$$
  Dit is gerelateerd aan de constante van Meissel-Mertens ($M$), waarbij $\alpha_0 = M - \gamma$.
• Voor $n \ge 1$:
  $$\alpha_n = \lim_{x \to \infty} (-1)^n \left( \sum_{p \le x} \frac{\log^n(p)}{p} - \frac{\log^n(x)}{n} \right)$$
  Deze formules generaliseren de klassieke stellingen van Mertens naar hogere orde.

2. Expansie via Stieltjes-constanten (Stelling 2)
Een krachtigere representatie voor de berekening van $\alpha_n$ wordt gegeven door gebruik te maken van de expansie van $\log \zeta(s)$:
$$\alpha_n = g_n + \left. \frac{d^n}{ds^n} \left[ \sum_{k=2}^\infty \frac{\mu(k)}{k} \log \zeta(ks) \right] \right|_{s=1}$$
Hierbij zijn $g_n$ de coëfficiënten van de expansie van $\log \zeta(s)$ rond $s=1$, die volledig kunnen worden uitgedrukt in termen van de Stieltjes-constanten ($\gamma, \gamma_1, \gamma_2, \dots$).

• Voorbeeld: $g_0 = 0$, $g_1 = \gamma$, $g_2 = -\gamma^2 - 2\gamma_1$, enzovoort.
• Deze methode convergeert veel sneller dan de directe limietformules en maakt hoge precisieberekeningen mogelijk.

3. Integraalrepresentatie (Stelling 3)
Een alternatieve formule wordt afgeleid die de coëfficiënten relateert aan het verschil tussen de priemtelfunctie en de logaritmische integraal:
$$\alpha_n = (-1)^n \int_1^\infty \frac{\log^n(t) - n \log^{n-1}(t)}{t^2} [\pi(t) - \text{li}(t)] \, dt$$
Dit biedt een diep inzicht in de relatie tussen de distributie van priemgetallen en de analytische eigenschappen van $P(s)$.

Numerieke Resultaten (Tabel 1)
De auteur berekent de eerste 10 coëfficiënten ($\alpha_0$ tot $\alpha_{10}$) met hoge precisie (30 decimalen).

• $\alpha_0 \approx -0.3157$
• $\alpha_1 \approx 1.3326$
• $\alpha_2 \approx -2.5551$
• De waarden groeien in absolute waarde en wisselen van teken, wat de complexiteit van de functie weerspiegelt.

Significantie

1. Generalisatie van Mertens' Stellingen:
   Het artikel generaliseert de bekende stellingen van Mertens (die specifiek zijn voor $n=0$ en $n=1$) naar een willekeurige orde $n$. Dit biedt een volledig kader voor het begrijpen van de asymptotische gedragingen van sommen over priemgetallen met logaritmische gewichten.

2. Verbeterde Berekeningsmethoden:
   Hoewel de limietformules (Stelling 1) theoretisch belangrijk zijn, convergeren ze extreem traag. De afleiding van de formule gebaseerd op de Möbius-inversie en Stieltjes-constanten (Stelling 2) biedt een efficiëntere en snellere methode om deze constanten numeriek te berekenen tot hoge precisie.

3. Analytische Uitbreiding:
   Het artikel verduidelijkt de analytische voortzetting van $P(s)$ naar het gebied $\Re(s) > 1/2$ (onder de Riemann-hypothese), met een specifieke taksnede. De reeksontwikkeling rond $s=1$ met een straal van convergentie $R=1/2$ (beperkt door de singulieriteit bij $s=1/2$) wordt hiermee rigoureus onderbouwd.

4. Referentiewaarden:
   De gepubliceerde tabel met 30-cijferige waarden voor de coëfficiënten dient als een waardevolle referentie voor toekomstig onderzoek in de analytische getaltheorie en de numerieke analyse van zeta-functies.

Kortom, dit artikel sluit een theoretisch gat door een systematische methode te bieden om de Taylor-achtige coëfficiënten van de reguliere deel van de primaire zeta-functie rond $s=1$ te berekenen, en koppelt deze direct aan de fundamentele constanten van de Riemann-zeta-functie.