On the series expansion of the prime zeta function about $s=1$ and its coefficients

1. Problématique et Contexte

L'article se concentre sur la fonction zêta des nombres premiers, notée $P(s)$, définie par la série :
$$P(s) = \sum_{p} \frac{1}{p^s}$$
où la somme porte sur les nombres premiers $p$. Cette fonction converge absolument pour $\Re(s) > 1$.

Le problème central abordé est la nature de la singularité de $P(s)$ en $s=1$. Contrairement à la fonction zêta de Riemann $\zeta(s)$ qui possède un pôle simple en $s=1$, la fonction $P(s)$ présente une singularité logarithmique (un point de branchement) en ce point. L'objectif de l'auteur est de :

1. Dériver une série de Taylor (développement asymptotique) de $P(s)$ autour de $s=1$.
2. Établir des formules générales pour les coefficients de cette série, notés $\alpha_n$.
3. Généraliser les théorèmes de Mertens (qui traitent des sommes de premiers) à des ordres supérieurs.

2. Méthodologie

L'auteur utilise une approche combinant l'analyse complexe, la théorie des nombres et l'intégration de Stieltjes. La méthodologie se décompose en plusieurs étapes clés :

• Représentation par inversion de Möbius :
  L'article part de la relation fondamentale reliant $P(s)$ à $\zeta(s)$ :
  $$P(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns)$$
  Cette formule permet de continuer analytiquement $P(s)$ vers $\Re(s) > 0$, révélant des singularités logarithmiques en $s = 1/n$ et aux zéros non triviaux de $\zeta(s)$.

• Définition du développement :
  L'auteur définit une branche de $P(s)$ autour de $s=1$ sous la forme :
  $$P(s) = \log\left(\frac{1}{s-1}\right) + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha_n}{n!} (s-1)^n$$
  La partie régulière de cette série est analytique dans un disque de rayon $R=1/2$.

• Preuve par Intégration de Stieltjes :
  Pour prouver les formules des coefficients, l'auteur exprime les sommes partielles sur les nombres premiers comme des intégrales de Stieltjes impliquant la fonction de comptage des nombres premiers $\pi(x)$.
  En utilisant l'approximation $\pi(x) = \text{li}(x) + f(x)$ (où $\text{li}(x)$ est l'intégrale logarithmique et $f(x)$ est le terme d'erreur, estimé sous l'hypothèse de Riemann comme $O(\sqrt{x}\log x)$), il transforme les sommes discrètes en intégrales continues.
  L'intégration par parties permet d'isoler les termes divergents (qui s'annulent avec le terme logarithmique) et d'identifier les coefficients constants restants comme des intégrales convergentes impliquant $f(t)$.

• Lien avec les constantes de Stieltjes :
  Une seconde méthode de calcul est proposée en exploitant le développement de $\log \zeta(s)$ autour de $s=1$, dont les coefficients sont liés aux constantes de Stieltjes $\gamma_k$.

3. Contributions Clés et Résultats

L'article présente trois théorèmes majeurs et des résultats numériques précis :

Théorème 1 : Formules limites pour les coefficients

L'auteur dérive des formules limites pour les coefficients $\alpha_n$ basées sur des sommes partielles de nombres premiers :

• Pour $n=0$ :
  $$\alpha_0 = \lim_{x\to\infty} \left( \sum_{p\le x} \frac{1}{p} - \log \log x \right) - \gamma$$
  Ce résultat relie $\alpha_0$ à la constante de Meissel-Mertens ($M$) et à la constante d'Euler ($\gamma$), donnant $\alpha_0 = M - \gamma$.
• Pour $n \ge 1$ :
  $$\alpha_n = \lim_{x\to\infty} (-1)^n \left( \sum_{p\le x} \frac{\log^n p}{p} - \frac{\log^n x}{n} \right)$$
  Ces formules généralisent les théorèmes de Mertens à des puissances supérieures des logarithmes.

Théorème 2 : Expression via la fonction zêta et constantes de Stieltjes

L'auteur propose une formule alternative, plus rapide pour le calcul numérique, exprimant $\alpha_n$ en fonction des coefficients $g_n$ du développement de $\log \zeta(s)$ (qui sont des combinaisons de constantes de Stieltjes $\gamma_k$) :
$$\alpha_n = g_n + \frac{d^n}{ds^n} \left[ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\mu(k)}{k} \log \zeta(ks) \right]_{s\to 1}$$
Cette approche permet de calculer les coefficients avec une haute précision en utilisant la convergence rapide de la série impliquant la fonction de Möbius, contrairement aux limites lentes du Théorème 1.

Théorème 3 : Représentation intégrale

Une formule intégrale alternative est dérivée, reliant directement les coefficients à l'écart entre la fonction de comptage $\pi(t)$ et l'intégrale logarithmique $\text{li}(t)$ :
$$\alpha_n = (-1)^n \int_{1}^{\infty} \frac{\log^n t - n \log^{n-1} t}{t^2} [\pi(t) - \text{li}(t)] \, dt$$

Résultats Numériques

L'article fournit un tableau de référence (Table 1) contenant les 11 premiers coefficients $\alpha_n$ calculés avec une précision de 30 décimales. Par exemple :

• $\alpha_0 \approx -0.31571845205389007685$
• $\alpha_1 \approx 1.33258227573322088176$
• $\alpha_2 \approx -2.55510761544644523959$
  Ces valeurs confirment les relations théoriques et fournissent des constantes nouvelles pour la littérature mathématique (notamment pour $n \ge 2$).

4. Signification et Impact

• Généralisation des Théorèmes de Mertens : L'article étend les résultats classiques de Mertens (qui concernent la somme des inverses des premiers et la somme des $\log p / p$) à une série infinie de constantes $\alpha_n$, offrant ainsi une structure plus complète pour l'analyse asymptotique des sommes sur les nombres premiers.
• Outils de Calcul Haute Précision : En reliant les coefficients $\alpha_n$ aux constantes de Stieltjes et à la série de Möbius, l'auteur fournit des méthodes de calcul beaucoup plus efficaces que les définitions limites directes, permettant une évaluation numérique fiable.
• Compréhension de la Singularité : L'analyse détaillée de la singularité logarithmique en $s=1$ et de la coupure de branche associée (le long de l'axe réel) contribue à une meilleure compréhension de la structure analytique de la fonction zêta des nombres premiers, une fonction complexe multi-valuée.
• Lien avec l'Hypothèse de Riemann : La convergence des intégrales et la validité de certaines estimations reposent sur l'Hypothèse de Riemann (RH), soulignant l'interdépendance entre la distribution des nombres premiers et les propriétés analytiques de $\zeta(s)$.

En résumé, cet article établit un cadre rigoureux pour le développement en série de la fonction zêta des nombres premiers autour de sa singularité principale, fournissant à la fois des formules théoriques profondes et des valeurs numériques de haute précision pour les coefficients de ce développement.