On the series expansion of the prime zeta function about $s=1$ and its coefficients

Resumen Técnico: Expansión en Serie de la Función Zeta de Primos alrededor de $s=1$

1. Planteamiento del Problema

La función zeta de primos, definida como $P(s) = \sum_{p} p^{-s}$, es una serie generalizada sobre los números primos que converge absolutamente para $\Re(s) > 1$. A través de la fórmula de inversión de Möbius, esta función puede continuarse analíticamente para $\Re(s) > 0$. Sin embargo, $P(s)$ presenta singularidades logarítmicas (puntos de ramificación) en $s = 1/n$ y en los ceros no triviales $\rho_n$ del zeta de Riemann, lo que la convierte en una función de valor múltiple con una frontera natural en $\Re(s) = 0$.

El problema central abordado en este trabajo es la derivación de una expansión en serie de Taylor (o más precisamente, una expansión asintótica con término logarítmico) de $P(s)$ alrededor de su singularidad principal en $s = 1$. El objetivo es encontrar una fórmula general para los coeficientes de esta expansión, análogos a los coeficientes de Stieltjes para la función zeta de Riemann, y proporcionar métodos eficientes para su cálculo numérico.

2. Metodología

El autor emplea una combinación de análisis complejo, teoría analítica de números y cálculo numérico de alta precisión. Los pasos metodológicos clave incluyen:

• Definición de la Expansión: Se define una rama de $P(s)$ mediante la expansión:
  $$P(s) = \log\left(\frac{1}{s-1}\right) + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha_n}{n!} (s-1)^n$$
  donde el término logarítmico captura la singularidad y $\alpha_n$ son los coeficientes regulares buscados.
• Integración de Stieltjes: Se utiliza la función de conteo de primos $\pi(x)$ y su relación con el logaritmo integral $\text{li}(x)$. Se define el término de error $f(x) = \pi(x) - \text{li}(x)$, que bajo la Hipótesis de Riemann (RH) es $O(\sqrt{x} \log x)$.
• Transformación Integral: Mediante integración por partes y la fórmula de inversión de Möbius, se transforman las sumas sobre primos en integrales que involucran $f(t)$. Esto permite expresar los coeficientes $\alpha_n$ como integrales definidas sobre el error de la aproximación de los primos.
• Conexión con la Función Zeta: Se utiliza la relación $P(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns)$ para derivar una representación alternativa de los coeficientes basada en las derivadas de $\log \zeta(s)$ y los coeficientes de Stieltjes ($\gamma_k$).
• Validación Numérica: Se implementan algoritmos para calcular los coeficientes con alta precisión, comparando la convergencia lenta de las fórmulas límite directas con la convergencia rápida de las series que involucran la función de Möbius.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

El artículo presenta tres teoremas fundamentales:

Teorema 1: Fórmulas Límite para los Coeficientes
Se derivan fórmulas límite para los coeficientes $\alpha_n$ basadas en sumas parciales sobre primos:

• Para $n=0$:
  $$\alpha_0 = \lim_{x \to \infty} \left( \sum_{p \le x} \frac{1}{p} - \log \log x \right) - \gamma$$
  Esto relaciona $\alpha_0$ con la constante de Meissel-Mertens ($M$) y la constante de Euler ($\gamma$), resultando en $\alpha_0 = M - \gamma$.
• Para $n \ge 1$:
  $$\alpha_n = \lim_{x \to \infty} (-1)^n \left( \sum_{p \le x} \frac{\log^n p}{p} - \frac{\log^n x}{n} \right)$$
  Estas fórmulas generalizan los Teoremas de Mertens a órdenes superiores.

Teorema 2: Representación mediante la Función Zeta y Coeficientes de Stieltjes
Se establece una fórmula computacionalmente superior que evita la convergencia lenta de las sumas directas:
$$\alpha_n = g_n + \left. \frac{d^n}{ds^n} \left[ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\mu(k)}{k} \log \zeta(ks) \right] \right|_{s \to 1}$$
Donde $g_n$ son los coeficientes de la expansión de $\log \zeta(s)$ alrededor de $s=1$, expresados en términos de los coeficientes de Stieltjes ($\gamma_k$). El autor proporciona las primeras expresiones explícitas de $g_n$ (ej. $g_0=0, g_1=\gamma, g_2=-\gamma^2-2\gamma_1$, etc.).

• Resultado Numérico: Se presenta una tabla con los primeros 10 coeficientes ($\alpha_0$ a $\alpha_{10}$) calculados con 30 dígitos de precisión. Por ejemplo, $\alpha_0 \approx -0.315718...$ y $\alpha_1 \approx 1.332582...$.

Teorema 3: Representación Integral Alternativa
Se deriva una fórmula integral que conecta directamente los coeficientes con la diferencia entre la función de conteo de primos y el logaritmo integral:
$$\alpha_n = (-1)^n \int_{1}^{\infty} \frac{\log^n t - n \log^{n-1} t}{t^2} [\pi(t) - \text{li}(t)] \, dt$$
Esta fórmula es válida para $n \ge 0$ y ofrece una perspectiva analítica profunda sobre la estructura de los coeficientes.

4. Significado e Impacto

• Generalización de los Teoremas de Mertens: El trabajo extiende los resultados clásicos de Mertens (que tratan sobre la suma de inversos de primos y la suma de $\log p / p$) a un marco general de orden superior, proporcionando una estructura unificada para entender el comportamiento asintótico de las sumas de primos ponderadas por potencias de logaritmos.
• Herramienta Computacional: La derivación de la fórmula basada en la función de Möbius (Teorema 2) es crucial porque las fórmulas límite directas (Teorema 1) convergen extremadamente lento. La nueva representación permite el cálculo de alta precisión de estos coeficientes, lo cual es esencial para investigaciones numéricas en teoría de números.
• Análisis de Singularidades: La clarificación de la estructura de la singularidad en $s=1$ y la definición de la rama analítica con un corte de rama en $(1/2, 1]$ contribuyen a la comprensión de las propiedades analíticas de la función zeta de primos, una función menos estudiada que la función zeta de Riemann pero fundamental en la teoría de números.
• Conexión con la Hipótesis de Riemann: La validez de ciertas extensiones analíticas y estimaciones de error en las integrales presentadas dependen de la Hipótesis de Riemann, vinculando estrechamente los coeficientes de expansión con la distribución de los ceros no triviales.

En conclusión, el artículo proporciona una teoría completa y herramientas prácticas para la expansión de la función zeta de primos cerca de su polo, ofreciendo nuevas constantes matemáticas y métodos de cálculo que generalizan resultados clásicos de la teoría analítica de números.