Finite Presentability of Brin-Higman-Thompson Monoids via Free Jónsson-Tarski Algebras

Resumen Técnico: Presentabilidad Finita de los Monoides de Brin-Higman-Thompson mediante Álgebras de Jónsson-Tarski Multidimensionales Libres

Planteamiento del Problema
El artículo aborda las propiedades estructurales de los monoides $tot \, {}_n M_{k,r}$, que son generalizaciones no parciales de los grupos de Brin-Higman-Thompson ${}_n G_{k,r}$. Introducidos por Birget, estos monoides extienden el clásico grupo de Thompson $V$ (y su versión monoidal $tot \, M_{2,1}$) a dimensiones superiores e involucran aplicaciones parciales sobre códigos de prefijos que no son necesariamente inyectivas. Si bien la presentabilidad finita del grupo de Thompson $V$ y sus análogos de dimensión superior ${}_n G_{k,r}$ está bien establecida, la presentabilidad finita de los monoides asociados $tot \, {}_n M_{k,r}$ no había sido probada. Los autores pretenden establecer que estos monoides son finitamente presentables para todos los valores de $n, r \ge 1$ y $k \ge 2$.

Metodología
Los autores emplean un enfoque dual que combina la geometría algebraica (a través de las variedades de Jónsson-Tarski) y los sistemas de reescritura combinatoria.

1. Realización Algebraica mediante Álgebras de Jónsson-Tarski:
   Los autores establecen primero un isomorfismo entre el monoide $tot \, {}_n M_{k,r}$ y el monoide de endomorfismos de un álgebra libre en la variedad de Jónsson-Tarski $k$-aria $n$-dimensional, denotado como $End(F_{n,k,r})$.

• Definen la variedad ${}_n J_k$ utilizando $n$ operaciones $k$-arias ($\lambda_i$) y $nk$ operaciones unarias ($\alpha_{i,j}$) que satisfacen relaciones de inversión y conmutación específicas.
• Construyen un mapeo entre los "shrubberies" (elementos del espacio ${}_n T_{k,r}$ que representan códigos de prefijos) y los generadores libres de $F_{n,k,r}$.
• Utilizando el concepto de "expansiones" (análogo a las expansiones de árboles en los grupos de Thompson), prueban que los códigos de prefijos completos en el espacio topológico corresponden biyectivamente a los conjuntos de generadores libres de la álgebra. Esto permite representar los elementos del monoide como endomorfismos que actúan sobre estos conjuntos de generadores.

2. La Perspectiva de Reescritura:
   Para probar la presentabilidad finita, los autores se desplazan hacia un monoide anti-isomorfo, ${}_n Rel_{k,r}$, cuyos elementos son vistos como "reglas de reescritura" que actúan sobre conjuntos de generación libres etiquetados.

• Introducen "conjuntos de generación libres etiquetados" donde los generadores reciben etiquetas de un conjunto infinito.
• Los elementos del monoide se definen por cómo mapean un conjunto etiquetado a otro, preservando las etiquetas. Este marco permite a los autores tratar los elementos del monoide como transformaciones de expresiones (análogo a las expresiones con paréntesis en el grupo de Thompson $V$).
• Definen "diferimientos" (deferments), que permiten que la acción de un mapa se desplace hacia sistemas de raíces específicos, facilitando la manipulación de los generadores.

3. Construcción de la Presentación:
   La prueba de la presentabilidad finita procede mediante:

• La demostración de que el monoide está finitamente generado por su grupo de unidades (automorfismos) y dos elementos específicos no invertibles ($U$ y $\pi$).
• La definición de un submonoide ${}_n P_{k,1}$ isomorfo a un producto de monoides libres, el cual sirve como herramienta para detectar la igualdad entre elementos.
• La construcción de una presentación finita explícita $\langle \Sigma | R \rangle$. Las relaciones incluyen aquellas que definen al grupo de unidades, las relaciones que gobiernan la interacción entre las unidades y los generadores no invertibles, y relaciones específicas derivadas del mecanismo de "diferimiento" y la estructura del álgebra libre.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema 1.1 (Isomorfismo): Para $r, n \ge 1$ y $k \ge 2$, el monoide $tot \, {}_n M_{k,r}$ es isomorfo al monoide de endomorfismos del álgebra libre de $r$ generadores en la variedad de Jónsson-Tarski $k$-aria $n$-dimensional. Esto proporciona un modelo algebraico concreto para estos monoides.
• Teorema 1.2 (Presentabilidad Finita): El monoide $tot \, {}_n M_{k,r}$ es finitamente presentable.
• Presentación Explícita: Los autores proporcionan una presentación finita explícita, aunque compleja, para el caso específico de $tot \, M_{2,1}$ (el monoide original de Thompson). Esta presentación involucra los generadores $u, v, \pi_L, U$ y 82 relaciones, derivadas de la construcción general.
• Generalización de la Prueba de Thompson: La metodología adapta la prueba original de Thompson para la presentabilidad finita de su monoide al entorno multidimensional, utilizando la estructura de las álgebras de Jónsson-Tarski para manejar los códigos de prefijos de mayor dimensión.

Significado
El artículo resuelve la cuestión abierta de si los monoides de Brin-Higman-Thompson no parciales son finitamente presentables. Al realizar estos monoides como monoides de endomorfismos de álgebras libres en una variedad específica, los autores cierran la brecha entre las definiciones topológicas/combinatorias de estos monoides y las estructuras algebraicas abstractas. Esta realización permite la aplicación de técnicas algebraicas (específicamente aquellas relacionadas con objetos libres y variedades) para resolver problemas respecto a las presentaciones de los monoides.

Los autores señalan que, si bien sus métodos abordan con éxito los monoides no parciales $tot \, {}_n M_{k,r}$, la cuestión de la presentabilidad finita para los monoides parciales ${}_n M_{k,r}$ (que incluyen aplicaciones no inyectivas con conjuntos de imagen incomparables) permanece abierta. Sugieren que sus técnicas podrían ser modificables para abordar estas estructuras parciales, pero no afirman haber resuelto ese caso específico. El trabajo también destaca la utilidad de las álgebras de Jónsson-Tarski para comprender la estructura de los grupos y monoides de tipo Higman-Thompson.