Finite Presentability of Brin-Higman-Thompson Monoids via Free Jónsson-Tarski Algebras

Technische Samenvatting: Eindige Presenteerbaarheid van Brin-Higman-Thompson Monoïden via Vrije Multidimensionale Jónsson-Tarski Algebra's

Probleemstelling
Het artikel behandelt de structurele eigenschappen van de monoïden $tot \, {}_n M_{k,r}$, die niet-partiële generalisaties zijn van de Brin-Higman-Thompson groepen ${}_n G_{k,r}$. Geïntroduceerd door Birger, generaliseren deze monoïden de klassieke Thompson-groep $V$ (en de bijbehorende monoïde $tot \, M_{2,1}$) naar hogere dimensies en omvatten zij partiële afbeeldingen op prefixcodes die niet noodzakelijkerwijs injectief zijn. Terwijl de eindige presenteerbaarheid van de Thompson-groep $V$ en zijn hogere-dimensionale analogen ${}_n G_{k,r}$ goed gevestigd is, was de eindige presenteerbaarheid van de bijbehorende monoïden $tot \, {}_n M_{k,r}$ nog niet bewezen. De auteurs beogen aan te tonen dat deze monoïden eindig gepresenteerd zijn voor alle $n, r \ge 1$ en $k \ge 2$.

Methodologie
De auteurs hanteren een duale aanpak die algebraïsche meetkunde (via Jónsson-Tarski-variëteiten) combineert met combinatorische herschrijfsystemen.

1. Algebraïsche Realisatie via Jónsson-Tarski Algebra's:
   De auteurs vestigen eerst een isomorfisme tussen de monoïde $tot \, {}_n M_{k,r}$ en de endomorfisme-monoïde van een vrij object in de $n$-dimensionale $k$-aire Jónsson-Tarski variëteit, aangeduid als $End(F_{n,k,r})$.

• Zij definiëren de variëteit ${}_n J_k$ met behulp van $n$ $k$-aire operaties ($\lambda_i$) en $nk$ unaire operaties ($\alpha_{i,j}$) die voldoen aan specifieke inverse- en commutatierelaties.
• Zij construeren een afbeelding tussen de "shrubberies" (elementen van de ruimte ${}_n T_{k,r}$ die prefixcodes representeren) en de vrije generatoren van $F_{n,k,r}$.
• Gebruikmakend van het concept van "expansies" (analoog aan boom-expansies in Thompson-groepen), bewijzen zij dat volledige prefixcodes in de topologische ruimte bijectief overeenkomen met vrije genererende verzamelingen van de algebra. Dit maakt het mogelijk om elementen van de monoïde te representeren als endomorfismen die handelen op deze genererende verzamelingen.

2. Het Herschrijfperspectief:
   Om de eindige presenteerbaarheid te bewijzen, verschuift de focus van de auteurs naar een anti-isomorfe monoïde, ${}_n Rel_{k,r}$, waarvan de elementen worden beschouwd als "herschrijfregels" die handelen op gelabelde vrije genererende verzamelingen.

• Zij introduceren "gelabelde vrije genererende verzamelingen" waarbij generatoren een label krijgen uit een oneindige verzameling.
• Elementen van de monoïde worden gedefinieerd door hoe zij een gelabelde verzameling naar een andere afbeelden, waarbij de labels behouden blijven. Dit kader stelt de auteurs in staat om elementen van de monoïde te behandelen als transformaties van expressies (analoog aan haakjes-expressies in de Thompson-groep $V$).
• Zij definiëren "deferments" (uitstel), die het mogelijk maken om de actie van een afbeelding te verschuiven naar specifieke wortelsystemen, wat de manipulatie van generatoren vergemakkelijkt.

3. Constructie van de Presentatie:
   Het bewijs van de eindige presenteerbaarheid verloopt via:

• Het aantonen dat de monoïde eindig gegenereerd wordt door zijn groep van eenheden (automorfismen) en twee specifieke niet-inverteerbare elementen ($U$ en $\pi$).
• Het definiëren van een submonoïde ${}_n P_{k,1}$ die isomorf is aan een vrij monoïde-product, wat dient als instrument om gelijkheid tussen elementen te detecteren.
• Het construeren van een expliciete eindige presentatie $\langle \Sigma | R \rangle$. De relaties omvatten die welke de groep van eenheden definiëren, relaties die de interactie tussen eenheden en de niet-inverteerbare generatoren beheersen, en specifieke relaties afgeleid van het "deferment"-mechanisme en de structuur van de vrije algebra.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Stelling 1.1 (Isomorfisme): Voor $r, n \ge 1$ en $k \ge 2$ is de monoïde $tot \, {}_n M_{k,r}$ isomorf aan de endomorfisme-monoïde van de $r$-gegenereerde vrije algebra in de $n$-dimensionale $k$-aire Jónsson-Tarski variëteit. Dit biedt een concreet algebraïsch model voor deze monoïden.
• Stelling 1.2 (Eindige Presenteerbaarheid): De monoïde $tot \, {}_n M_{k,r}$ is eindig gepresenteerd.
• Expliciete Presentatie: De auteurs leveren een expliciete, zij het complexe, eindige presentatie voor het specifieke geval van $tot \, M_{2,1}$ (de oorspronkelijke monoïde van Thompson). Deze presentatie bevat generatoren $u, v, \pi_L, U$ en 82 relaties, afgeleid van de algemene constructie.
• Generalisatie van Thompsons Bewijs: De methodologie past het oorspronkelijke bewijs van Thompson voor de eindige presenteerbaarheid van zijn monoïde aan naar de multidimensionale setting, waarbij gebruik wordt gemaakt van de structuur van Jónsson-Tarski algebra's om de hogere-dimensionale prefixcodes te behandelen.

Betekenis
Het artikel lost de openstaande vraag op of de niet-partiële Brin-Higman-Thompson monoïden eindig gepresenteerd zijn. Door deze monoïden te realiseren als endomorfisme-monoïden van vrije algebra's in een specifieke variëteit, overbruggen de auteurs de kloof tussen de topologische/combinatorische definities van deze monoïden en abstracte algebraïsche structuren. Deze realisatie maakt het mogelijk om algebraïsche technieken (specifiek gerelateerd aan vrije objecten en variëteiten) toe te passen op problemen betreffende de presentaties van de monoïden.

De auteurs merken op dat hoewel hun methoden succesvol de niet-partiële monoïden $tot \, {}_n M_{k,r}$ adresseren, de vraag naar de eindige presenteerbaarheid van de partiële monoïden ${}_n M_{k,r}$ (die niet-injectieve afbeeldingen met niet-vergelijkbare beeldverzamelingen bevatten) open blijft. Zij suggereren dat hun technieken mogelijk aangepast kunnen worden om deze partiële structuren te adresseren, maar zij beweren niet dat zij specifiek dat geval hebben opgelost. Het werk benadrukt tevens het nut van Jónsson-Tarski algebra's voor het begrijpen van de structuur van Higman-Thompson type groepen en monoïden.