Finite Presentability of Brin-Higman-Thompson Monoids via Free Jónsson-Tarski Algebras

Résumé technique : Présentabilité finie des monoïdes de Brin-Higman-Thompson via les algèbres de Jónsson-Tarski multidimensionnelles libres

Énoncé du problème
Le document traite des propriétés structurelles des monoïdes $tot \, {}_n M_{k,r}$, qui sont des généralisations non partielles des groupes de Brin-Higman-Thompson ${}_n G_{k,r}$. Introduits par Birget, ces monoïdes étendent le groupe de Thompson classique $V$ (et sa version monoïde $tot \, M_{2,1}$) aux dimensions supérieures et impliquent des applications partielles sur des codes préfixes qui ne sont pas nécessairement injectives. Alors que la présentabilité finie du groupe de Thompson $V$ et de ses analogues de dimension supérieure ${}_n G_{k,r}$ est bien établie, la présentabilité finie des monoïdes associés $tot \, {}_n M_{k,r}$ n'avait pas été prouvée. Les auteurs visent à établir que ces monoïdes sont présentables de façon finie pour tous $n, r \ge 1$ et $k \ge 2$.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche duale combinant la géométrie algébrique (via les variétés de Jónsson-Tarski) et les systèmes de réécriture combinatoires.

1. Réalisation algébrique via les algèbres de Jónsson-Tarski :
   Les auteurs établissent d'abord un isomorphisme entre le monoïde $tot \, {}_n M_{k,r}$ et le monoïde des endomorphismes d'une algèbre libre dans la variété de Jónsson-Tarski $k$-aire à $n$ dimensions, notée $End(F_{n,k,r})$.

• Ils définissent la variété ${}_n J_k$ en utilisant $n$ opérations $k$-aires ($\lambda_i$) et $nk$ opérations unaires ($\alpha_{i,j}$) satisfaisant des relations d'inversion et de commutation spécifiques.
• Ils construisent une correspondance entre les « shrubberies » (éléments de l'espace ${}_n T_{k,r}$ représentant des codes préfixes) et les générateurs libres de $F_{n,k,r}$.
• En utilisant le concept d'« expansions » (analogues aux expansions d'arbres dans les groupes de Thompson), ils prouvent que les codes préfixes complets dans l'espace topologique correspondent bijectivement à des ensembles de générateurs libres d'algèbre. Cela permet de représenter les éléments du monoïde comme des endomorphismes agissant sur ces ensembles de générateurs.

2. La perspective de la réécriture :
   Pour prouver la présentabilité finie, les auteurs se tournent vers un monoïde anti-isomorphe, ${}_n Rel_{k,r}$, dont les éléments sont considérés comme des « règles de réécriture » agissant sur des ensembles de générateurs libres étiquetés.

• Ils introduisent des « ensembles de générateurs libres étiquetés » où les générateurs sont assignés des étiquettes issues d'un ensemble infini.
• Les éléments du monoïde sont définis par la manière dont ils associent un ensemble étiqueté à un autre, en préservant les étiquettes. Ce cadre permet aux auteurs de traiter les éléments du monoïde comme des transformations d'expressions (analogues aux expressions parenthésées dans le groupe de Thompson $V$).
• Ils définissent des « reports » (deferments), qui permettent de déplacer l'action d'une application vers des systèmes racines spécifiques, facilitant ainsi la manipulation des générateurs.

3. Construction de la présentation :
   La preuve de la présentabilité finie procède par :

• La démonstration que le monoïde est engendré de façon finie par son groupe des unités (automorphismes) et deux éléments non inversibles spécifiques ($U$ et $\pi$).
• La définition d'un sous-monoïde ${}_n P_{k,1}$ isomorphe à un produit de monoïdes libres, qui sert d'outil pour détecter l'égalité entre les éléments.
• La construction d'une présentation finie explicite $\langle \Sigma | R \rangle$. Les relations incluent celles définissant le groupe des unités, les relations régissant l'interaction entre les unités et les générateurs non inversibles, ainsi que des relations spécifiques dérivées du mécanisme de « report » et de la structure de l'algèbre libre.

Contributions clés et résultats

• Théorème 1.1 (Isomorphisme) : Pour $r, n \ge 1$ et $k \ge 2$, le monoïde $tot \, {}_n M_{k,r}$ est isomorphe au monoïde des endomorphismes de l'algèbre libre à $r$ générateurs dans la variété de Jónsson-Tarski $k$-aire à $n$ dimensions. Cela fournit un modèle algébrique concret pour ces monoïdes.
• Théorème 1.2 (Présentabilité finie) : Le monoïde $tot \, {}_n M_{k,r}$ est présentable de façon finie.
• Présentation explicite : Les auteurs fournissent une présentation finie explicite, bien que complexe, pour le cas spécifique de $tot \, M_{2,1}$ (le monoïde original de Thompson). Cette présentation implique les générateurs $u, v, \pi_L, U$ et 82 relations, dérivées de la construction générale.
• Généralisation de la preuve de Thompson : La méthodologie adapte la preuve originale de Thompson pour la présentabilité finie de son monoïde au cadre multidimensionnel, en utilisant la structure des algèbres de Jónsson-Tarski pour gérer les codes préfixes de dimension supérieure.

Signification
Ce document résout la question de savoir si les monoïdes de Brin-Higman-Thompson non partiels sont présentables de façon finie. En réalisant ces monoïdes comme des monoïdes d'endomorphismes d'algèbres libres dans une variété spécifique, les auteurs comblent le fossé entre les définitions topologiques/combinatoires de ces monoïdes et les structures algébriques abstraites. Cette réalisation permet l'application de techniques algébriques (spécifiquement celles liées aux objets libres et aux variétés) pour résoudre des problèmes concernant les présentations de ces monoïdes.

Les auteurs notent que bien que leurs méthodes traitent avec succès les monoïdes non partiels $tot \, {}_n M_{k,r}$, la question de la présentabilité finie des monoïdes partiels ${}_n M_{k,r}$ (qui incluent des applications non injectives avec des ensembles d'images incomparables) reste ouverte. Ils suggèrent que leurs techniques pourraient être modifiées pour traiter ces structures partielles, mais ne prétendent pas avoir résolu ce cas spécifique. Ce travail souligne également l'utilité des algèbres de Jónsson-Tarski pour comprendre la structure des groupes et monoïdes de type Higman-Thompson.