Finite Presentability of Brin-Higman-Thompson Monoids via Free Jónsson-Tarski Algebras

技術要約：自由多次元Jónsson-Tarski代数によるBrin-Higman-Thompsonモノイドの有限プレゼンテーション可能性

問題提起
本論文は、Brin-Higman-Thompson群 ${}_n G_{k,r}$ の非部分的な一般化であるモノイド $tot \, {}_n M_{k,r}$ の構造的性質を扱う。Birgetによって導入されたこれらのモノイドは、古典的なThompsonの群 $V$（およびそのモノイド版 $tot \, M_{2,1}$）を高次元へと拡張したものであり、必ずしも単射ではない接頭辞符号上の部分写像を伴う。Thompson群 $V$ およびその高次元類似体 ${}_n G_{k,r}$ の有限プレゼンテーション可能性は確立されているが、関連するモノイド $tot \, {}_n M_{k,r}$ の有限プレゼンテーション可能性については未証明であった。著者らは、すべての $n, r \ge 1$ および $k \ge 2$ に対して、これらのモノイドが有限プレゼンテーション可能であることを示すことを目的としている。

手法
著者らは、代数幾何学（Jónsson-Tarski多様体を通じて）と組合せ論的書き換えシステムの両方を組み合わせた二重のアプローチを採用している。

1. Jónsson-Tarski代数による代数的実現:
   著者らはまず、モノイド $tot \, {}_n M_{k,r}$ と、$n$ 次元 $k$ 絡みのJónsson-Tarski多様式における自由代数の自己同型モノイド $End(F_{n,k,r})$ との間の同型関係を確立する。

• 彼らは、$n$ 個の $k$ 絡みの演算（$\lambda_i$）と $nk$個の一元演算（$\alpha_{i,j}$）を用い、特定の逆演算および交換関係を満たす多様体${}_n J_k$ を定義する。
• 彼らは、「シュラベリー（shrubberies）」（接頭辞符号を表す空間 ${}_n T_{k,r}$ の要素）と、自由生成元 $F_{n,k,r}$ の間の対応関係を構築する。
• 「拡張（expansions）」（Thompson群における木展開に類似したもの）の概念を用いて、位相空間における完全な接頭辞符号が、代数の自由生成集合と全単射であることを証明する。これにより、モノイドの要素を、これらの生成集合に作用する自己同型として表現することが可能になる。

2. 書き換えの視点:
   有限プレゼンテーション可能性を証明するために、著者らは、ラベル付き自由生成集合上で作用する「書き換え規則」と見なせる反同型モノイド ${}_n Rel_{k,r}$ へと視点を移す。

• 著者らは、生成元に無限集合からラベルを割り当てる「ラベル付き自由生成集合」を導入する。
• モノイドの要素は、ラベルを保持しながら、一つのラベル付き集合を別のラベル付き集合へどのように写すかによって定義される。この枠組みにより、モノイドの要素を（Thompson群の括弧付き式と同様に）式の変換として扱うことが可能になる。
• 著者らは、「遅延（deferments）」を導入する。これは、写像の作用を特定の根系（root systems）へとシフトさせることを可能にし、生成子の操作を容易にする。

3. プレゼンテーションの構成:
   有限プレゼンテーション可能性の証明は、以下の手順で行われる：

• モノイドが、その単位群（自己同型群）と2つの特定の非可逆要素（$U$ および $\pi$）によって有限生成されることを示す。
• 要素間の等価性を検出するためのツールとして、自由モノイドの積と同型な部分モノイド ${}_n P_{k,1}$ を定義する。
• 明示的な有限プレゼンテーション $\langle \Sigma | R \rangle$ を構築する。関係式には、単位群を定義する関係、単位と非可逆生成子の間の相互作用を制御する関係、および「遅延」メカニズムと自由代数の構造から導かれる特定の関係が含まれる。

主要な貢献と結果

• 定理 1.1 (同型): $r, n \ge 1$ および $k \ge 2$ に対して、モノイド $tot \, {}_n M_{k,r}$ は、$n$ 次元 $k$ 絡みのJónsson-Tarski多様式における $r$ 生成自由代数の自己同型モノイドと同型である。これは、これらのモノイドに対する具体的な代数的モデルを提供する。
• 定理 1.2 (有限プレゼンテーション可能性): モノイド $tot \, {}_n M_{k,r}$ は有限プレゼンテーション可能である。
• 明示的なプレゼンテーション: 著者らは、特定のケースである $tot \, M_{2,1}$（Thompsonのオリジナルのモノイド）に対する、明示的ではあるが複雑な有限プレゼンテーションを提供する。このプレゼンテーションは、一般的な構成から導出された、生成元 $u, v, \pi_L, U$ と82個の関係式を含む。
• Thompsonの証明の一般化: 本手法は、Thompsonによる彼のモノイドの有限プレゼンテーション可能性に関する元の証明を、高次元の設定へと適応させたものであり、高次元の接頭辞符号を扱うためにJónsson-Tarski代数の構造を利用している。

意義
本論文は、非部分的なBrin-Higman-Thompsonモノイドが有限プレゼンテーション可能であるかという未解決の問いを解決している。これらのモノイドを特定の多様式における自由代数の自己同型モノイドとして実現することで、著者らは、これらのモノイドの位相的・組合せ論的な定義と、抽象的な代数的構造との間の架け橋を築いた。この実現により、モノイドのプレゼンテーションに関する問題を解決するために、代数的技術（特に自由対象および多様式に関連するもの）を適用することが可能となった。

著者らは、彼らの手法が非部分的なモノイド $tot \, {}_n M_{k,r}$ を扱うことには成功しているものの、部分的なモノイド ${}_n M_{k,r}$（比較不能な像の集合を持つ非単射写像を含むもの）の有限プレゼンテーション可能性に関する問いは依然として未解決であることを注記している。彼らは、自らの手法をこれらの部分的な構造に対処するために修正できる可能性があると示唆しているが、その特定のケースを解決したとは主張していない。また、本研究は、Higman-Thompson型の群やモノイドの構造を理解する上でのJónsson-Tarski代数の有用性を強調している。