Finite Presentability of Brin-Higman-Thompson Monoids via Free Jónsson-Tarski Algebras

Resumo Técnico: Apresentabilidade Finita de Monoides de Brin-Higman-Thompson via Álgebras de Jónsson-Tarski Multidimensionais Livres

Enunciado do Problema
O artigo aborda as propriedades estruturais dos monoides $tot \, {}_n M_{k,r}$, que são generalizações não parciais dos grupos de Brin-Higman-Thompson ${}_n G_{k,r}$. Introduzidos por Birget, esses monoides estendem o clássico grupo de Thompson $V$ (e sua versão monoidal $tot \, M_{2,1}$) para dimensões superiores e envolvem aplicações parciais em códigos de prefixo que não são necessariamente injetivas. Embora a apresentabilidade finita do grupo de Thompson $V$ e de seus análogos de dimensão superior ${}_n G_{k,r}$ esteja bem estabelecida, a apresentabilidade finita de seus monoides associados $tot \, {}_n M_{k,r}$ não havia sido provada. Os autores visam estabelecer que esses monoides são finitamente apresentáveis para todos os $n, r \ge 1$ e $k \ge 2$.

Metodologia
Os autores empregam uma abordagem dual combinando geometria algébrica (via variedades de Jónsson-Tarski) e sistemas de reescrita combinatória.

1. Realização Algébrica via Álgebras de Jónsson-Tarski:
   Os autores primeiro estabelecem um isomorfismo entre o monoide $tot \, {}_n M_{k,r}$ e o monoide de endomorfismos de uma álgebra livre na variedade de Jónsson-Tarski $k$-ária $n$-dimensional, denotada como $End(F_{n,k,r})$.

• Eles definem a variedade ${}_n J_k$ usando $n$ operações $k$-árias ($\lambda_i$) e $nk$ operações unárias ($\alpha_{i,j}$) satisfazendo relações de inversão e comutação específicas.
• Eles constroem um mapeamento entre os "shrubberies" (elementos do espaço ${}_n T_{k,r}$ representando códigos de prefixo) e os geradores livres de $F_{n,k,r}$.
• Usando o conceito de "expansões" (análogo às expansões de árvores em grupos de Thompson), eles provam que códigos de prefixo completos no espaço topológico correspondem de forma bijetiva a conjuntos geradores livres da álgebra. Isso permite representar elementos do monoide como endomorfismos atuando sobre esses conjuntos geradores.

2. A Perspectiva de Reescrita:
   Para provar a apresentabilidade finita, os autores mudam para um monoide anti-isomorfo, ${}_n Rel_{k,r}$, cujos elementos são vistos como "regras de reescrita" atuando sobre conjuntos geradores livres rotulados.

• Eles introduzem "conjuntos geradores livres rotulados", onde os geradores recebem rótulos de um conjunto infinito.
• Elementos do monoide são definidos pela forma como mapeiam um conjunto rotulado para outro, preservando os rótulos. Este arcabouço permite que os autores tratem elementos do monoide como transformações de expressões (análogo a expressões com parênteses no grupo de Thompson $V$).
• Eles definem "adiamentos" (deferments), que permitem que a ação de um mapa seja deslocada para sistemas de raízes específicos, facilitando a manipulação de geradores.

3. Construção da Apresentação:
   A prova da apresentabilidade finita procede por:

• Demonstrar que o monoide é finitamente gerado por seu grupo de unidades (automorfismos) e dois elementos não-invertíveis específicos ($U$ e $\pi$).
• Definir um submonoide ${}_n P_{k,1}$ isomorfo a um produto de monoides livres, que serve como uma ferramenta para detectar a igualdade entre elementos.
• Construir uma apresentação finita explícita $\langle \Sigma | R \rangle$. As relações incluem aquelas que definem o grupo de unidades, relações que governam a interação entre unidades e os geradores não-invertíveis, e relações específicas derivadas do mecanismo de "adiamento" e da estrutura da álgebra livre.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema 1.1 (Isomorfismo): Para $r, n \ge 1$ e $k \ge 2$, o monoide $tot \, {}_n M_{k,r}$ é isomorfo ao monoide de endomorfismos da álgebra livre $r$-gerada na variedade de Jónsson-Tarski $k$-ária $n$-dimensional. Isso fornece um modelo algébrico concreto para esses monoides.
• Teorema 1.2 (Apresentabilidade Finita): O monoide $tot \, {}_n M_{k,r}$ é finitamente apresentável.
• Apresentação Explícita: Os autores fornecem uma apresentação finita explícita, embora complexa, para o caso específico de $tot \, M_{2,1}$ (o monoide original de Thompson). Esta apresentação envolve os geradores $u, v, \pi_L, U$ e 82 relações, derivadas da construção geral.
• Generalização da Prova de Thompson: A metodologia adapta a prova original de Thompson para a apresentabilidade finita de seu monoide para o cenário multidimensional, utilizando a estrutura das álgebras de Jónsson-Tarski para lidar com os códigos de prefixo de dimensões superiores.

Significância
O artigo resolve a questão aberta de se os monoides de Brin-Higman-Thompson não-parciais são finitamente apresentáveis. Ao realizar esses monoides como monoides de endomorfismos de álgebras livres em uma variedade específica, os autores unem a definição topológica/combinatória desses monoides às estruturas algébricas abstratas. Essa realização permite a aplicação de técnicas algébricas (especificamente relacionadas a objetos livres e variedades) para resolver problemas relativos às apresentações dos monoides.

Os autores observam que, embora seus métodos abordem com sucesso os monoides não-parciais $tot \, {}_n M_{k,r}$, a questão da apresentabilidade finita para os monoides parciais ${}_n M_{k,r}$ (que incluem aplicações não-injetivas com conjuntos de imagem incomparáveis) permanece aberta. Eles sugerem que suas técnicas podem ser modificadas para abordar essas estruturas parciais, mas não afirmam ter resolvido esse caso específico. O trabalho também destaca a utilidade das álgebras de Jónsson-Tarski para compreender a estrutura dos grupos e monoides do tipo Higman-Thompson.