Non-hermitian Green's function theory with $N$-body interactions: the coupled-cluster similarity transformation

Resumen Técnico: Teoría de la función de Green no hermítica con interacciones de N cuerpos: la transformación de similitud de cúmulos acoplados

Planteamiento del problema
El formalismo de la función de Green es una piedra angular de la teoría de muchos cuerpos ab initio, que proporciona una descripción unificada de los estados fundamentales y excitados mediante la función de Green de partícula única y la autoenergía irreducible. Tradicionalmente, este marco se ha desarrollado para Hamiltonianos hermíticos que involucran interacciones de dos cuerpos (y recientemente de tres cuerpos). Por el contrario, la teoría de Cúmulos Acoplados (CC, por sus siglas en inglés) es un método principal para obtener propiedades del estado fundamental, formulado mediante una transformación de similitud no hermítica del Hamiltoniano ($\bar{H} = e^{-T}He^T$). Si bien intentos previos han combinado estas teorías, se centraron principalmente en la construcción de la función de Green electrónica directamente desde los autoestados de CC (IP/EA-EOM-CC) o en la conexión de autoenergías aproximadas (como $G_0W_0$) con CC. Una teoría de funciones de Green diagramática rigurosa para la interacción de $N$ cuerpos no hermítica generada por la transformación de similitud de CC ha permanecido inexplorada. Específicamente, la relación entre el marco funcional-diagramático de la teoría de la función de Green y la transformación de similitud de CC requiere un nuevo formalismo para manejar las interacciones efectivas resultantes de la normalización de un operador de $N$ cuerpos no hermítico.

Metodología
Los autores desarrollan un nuevo formalismo de la función de Green para interacciones generales de $N$ cuerpos no hermíticos, aplicado específicamente al Hamiltoniano de transformación de similitud de cúmulos acoplados. La metodología procede a través de las siguientes etapas teóricas clave:

1. Teoría cuántica biortogonal: Los autores extienden las imágenes cuánticas estándar (Schrödinger, Heisenberg, Interacción) a sistemas no hermíticos utilizando una base biortogonal. Definen autoestados de la izquierda ($\langle \tilde{\Psi} |$) y de la derecha ($| \Psi \rangle$) y establecen una imagen de Interacción biortogonal. Esto permite la extensión del teorema de Gell-Mann y Low (GML) a interacciones no hermíticas, permitiendo la construcción perturbativa de funciones de correlación.
2. Definición de la Función de Green de Partícula Única de Cúmulos Acoplados (SP-CCGF): A diferencia de enfoques anteriores que definen la función de Green mediante operadores de transformación de similitud, este trabajo define la SP-CCGF ($\tilde{G}$) directamente en la imagen de Heisenberg biortogonal gobernada por el Hamiltoniano de transformación de similitud $\bar{H}$:
   $$i\tilde{G}_{pq}(t_1, t_2) = \langle \tilde{\Psi}_0 | T \{ a_p(t_1) a^\dagger_q(t_2) \} | \Phi_0 \rangle$$
   donde $|\Phi_0\rangle$ es el determinante de referencia y $|\tilde{\Psi}_0\rangle$ es el autoestado de la izquierda.
3. Interacciones Efectivas y Normalización: Los autores demuestran que la construcción de la autoenergía como un funcional de la función de Green exacta ($\tilde{\Sigma}[\tilde{G}]$) requiere la normalización del Hamiltoniano no hermítico con respecto al estado fundamental biortogonal. Esto genera interacciones efectivas de uno, dos y más cuerpos ($\tilde{F}, \tilde{\Xi}, \tilde{\chi}$, etc.) que son funcionales de $\tilde{G}$.
4. Expansiones Diagramáticas:
   • Expansión Perturbativa: Los autores derivan la expansión perturbativa de la autoenergía irreducible de cúmulos acoplados ($\tilde{\Sigma}[G_0]$) con respecto a la función de Green de referencia no interactuante ($G_0$). Esta expansión incluye diagramas hasta tercer orden, revelando la emergencia de interacciones efectivas que se anulan o simplifican debido a las ecuaciones de amplitud de CC (por ejemplo, la anulación del bloque virtual-ocupado).
   • Renormalización Autoconsistente: Utilizando la ecuación de movimiento exacta para $\tilde{G}$, los autores derivan el funcional de autoenergía totalmente renormalizado $\tilde{\Sigma}[\tilde{G}]$. Esto implica el acoplamiento de la función de Green de partícula única con funciones de Green de orden superior (4 puntos, 6 puntos, etc.) y la definición de las funciones de vértice correspondientes.
5. Conexión con las Derivadas de Lagrange: El trabajo establece un vínculo riguroso entre la expansión diagramática de la autoenergía y las derivadas funcionales del Lagrangiano de Cúmulos Acoplados con respecto a la función de Green no interactuante.

Contribuciones Clave y Resultados

• Nuevo Formalismo: El artículo presenta la primera teoría diagramática de la autoenergía irreducible y del núcleo de Bethe-Salpeter (BSE) para una interacción general de $N$ cuerpos no hermítica, diseñada específicamente para la transformación de similitud de CC.
• Ecuación de Dyson Exacta: Los autores derivan una ecuación de Dyson exacta para la SP-CCGF, $\tilde{G} = G_0 + G_0 \tilde{\Sigma}[\tilde{G}] \tilde{G}$, donde la autoenergía es un funcional de la función de Green de cúmulos acoplados exacta.
• Consistencia Diagramática: El estudio detalla la expansión perturbativa de $\tilde{\Sigma}$ hasta tercer orden. Muestra que, si bien la estructura se asemeja a las autoenergías electrónicas estándar, los vértices de interacción son reemplazados por interacciones efectivas ($\tilde{\Xi}, \tilde{\chi}$) que dependen de la función de Green. Crucialmente, los diagramas que involucran cuatro o más líneas por debajo de un vértice se anulan debido a la estructura de la transformación de similitud de CC.
• Componente Estático y Energía del Estado Fundamental: Los autores derivan la componente estática exacta de la autoenergía de cúmulos acoplados ($\tilde{\Sigma}^\infty$) y demuestran que la energía del estado fundamental de cúmulos acoplados puede recuperarse de la autoenergía y la matriz de densidad asociada, resolviendo discrepancias previas en las definiciones de energía entre CC y la teoría de la función de Green.
• Núcleo de Bethe-Salpeter: El artículo deriva la expansión diagramática para el núcleo de BSE de cúmulos acoplados ($\tilde{\Xi} = i \delta \tilde{\Sigma} / \delta \tilde{G}$), resaltando la complejidad introducida por la dependencia funcional de las líneas de interacción de $\tilde{G}$.
• Aproximación CC-$G_0W_0$: Aprovechando las conexiones entre el formalismo de la función de Green y la teoría de CC, los autores introducen una autoenergía "CC-$G_0W_0$". Esta aproximación utiliza la aproximación de anillo rCCD (ring-CCD) y trunca las matrices de interacción a espacios de excitación de 2 partículas-1 hueco / 2 huecos-1 partícula (2p1h/2h1p), proporcionando un puente entre la teoría GW y la teoría de CC.
• Supermatriz de Dyson: La representación espectral de la autoenergía se utiliza para construir una supermatriz de Dyson de cúmulos acoplados, que proporciona los potenciales de ionización y afinidades electrónicas exactos, de manera análoga a la supermatriz de Dyson electrónica pero adaptada al contexto no hermítico de CC.

Significado
El artículo afirma proporcionar una "formulación y extensión rigurosa" de resultados previos (específicamente la Ref. [43]) a la teoría de cúmulos acoplados formulada sobre un estado de referencia arbitrario. Al unificar las técnicas de CC y la teoría de la función de Green, el trabajo ofrece un marco "formalmente exacto" que clarifica la naturaleza de la autoenergía de muchos cuerpos y el núcleo de Bethe-Salpeter en el contexto de los enfoques basados en la función de onda. Los autores enfatizan que este cambio de perspectiva —tratar el Hamiltoniano de transformación de similitud como la interacción fundamental— revela la derivación de la autoenergía y la función de Green que surgen naturalmente dentro de la teoría de CC. Este formalismo se presenta como un paso necesario para comprender plenamente las relaciones funcionales-diagramáticas en sistemas de muchos cuerpos no hermíticos y para desarrollar nuevas aproximaciones (como CC-$G_0W_0$) que combinen las fortalezas de ambos marcos teóricos. El trabajo no propone nuevas aplicaciones experimentales, sino que establece la base teórica para futuros desarrollos computacionales en física de la materia condensada y física nuclear.