Non-hermitian Green's function theory with $N$-body interactions: the coupled-cluster similarity transformation

技术摘要：具有 N-体相互作用的非厄米格林函数理论：耦合簇相似变换

问题陈述
格林函数形式体系是 ab initio 多体理论的基石，通过单粒子格林函数和不可约自能，为基态和激发态提供了统一的描述。传统上，该框架是针对包含二体（以及最近的三体）相互作用的厄米哈密顿量而开发的。相反，耦合簇（CC）理论是一种通过非厄米哈密顿量的相似变换（$\bar{H} = e^{-T}He^T$）来获得基态性质的主要方法。虽然此前已有尝试将这些理论结合起来，但主要集中在直接从 CC 本征态构建电子格林函数（IP/EA-EOM-CC），或将近似自能（如 $G_0W_0$）与 CC 联系起来。对于由 CC 相似变换生成的非厄米 $N$-体相互作用哈密顿量，一个严谨的图解格林函数理论仍处于空白状态。具体而言，格林函数理论的泛函-图解框架与 CC 相似变换之间的关系，需要一种新的形式体系，以处理由于对非厄米 $N$-体算符进行正规序化而产生的有效相互作用。

方法论
作者开发了一种针对一般非厄米 $N$-体相互作用（特别应用于耦合簇相似变换后的哈密顿量）的新型格林函数形式体系。该方法通过以下关键理论步骤进行：

1. 双正交量子理论： 作者利用双正交基组，将标准的量子力学图景（薛定谔、海森堡、相互作用图景）扩展到非厄米系统。他们定义了左本征态（$\langle \tilde{\Psi} |$）和右本征态（$| \Psi \rangle$），并建立了双正交相互作用图景。这使得将 Gell-Mann 和 Low (GML) 定理扩展到非厄米相互作用成为可能，从而实现关联函数的摄动构建。
2. 单粒子耦合簇格林函数（SP-CCGF）的定义： 不同于以往通过相似变换算符定义格林函数的方法，这项工作直接在由相似变换哈密顿量 $\bar{H}$ 控制的双正交海森堡图景中定义 SP-CCGF ($\tilde{G}$):
   $$i\tilde{G}_{pq}(t_1, t_2) = \langle \tilde{\Psi}_0 | T \{ a_p(t_1) a^\dagger_q(t_2) \} | \Phi_0 \rangle$$
   其中 $|\Phi_0\rangle$ 是参考行列式，$|\tilde{\Psi}_0\rangle$ 是左本征态。
3. 有效相互作用与正规序化： 作者证明，构造作为精确格林函数泛函的自能 ($\tilde{\Sigma}[\tilde{G}]$)，需要针对双正交基态对非厄米哈密顿量进行正规序化。这产生了关于 $\tilde{G}$ 的有效一体、二体及更高阶相互作用（$\tilde{F}, \tilde{\Xi}, \tilde{\chi}$ 等）。
4. 图解展开：
   • 摄动展开： 作者推导了不可约耦合簇自能 ($\tilde{\Sigma}[G_0]$) 关于非相互作用参考格林函数 ($G_0$) 的摄动展开。该展开包含了直到三阶的图解，揭示了有效相互作用的出现，并且这些相互作用会因 CC 振幅方程而消失或简化（例如，虚激发-占据块的消失）。
   • 自洽重整化： 利用 $\tilde{G}$ 的精确运动方程，作者推导了完全重整化的自能泛函 $\tilde{\Sigma}[\tilde{G}]$。这涉及将单粒子格林函数与高阶格林函数（4 点、6 点等）以及相应的顶点函数耦合起来。
5. 与拉格朗日导数的联系： 该工作建立了自能的图解展开与耦合簇拉格朗日量对非相互作用格林函数之泛函导数之间的严谨联系。

核心贡献与结果

• 新型形式体系： 本文提出了第一个针对一般非厄米 $N$-体相互作用（专门为 CC 相似变换定制）的不可约自能和 Bethe-Salpeter (BSE) 核的图解理论。
• 精确 Dyson 方程： 作者推导了 SP-CCGF 的精确 Dyson 方程 $\tilde{G} = G_0 + G_0 \tilde{\Sigma}[\tilde{G}] \tilde{G}$，其中自能是精确耦合簇格林函数的泛函。
• 图解一致性： 研究详细说明了 $\tilde{\Sigma}$ 直至三阶的摄动展开。它表明，虽然其结构类似于标准的电子自能，但相互作用顶点被替换为依赖于格林函数的有效相互作用（$\tilde{\Xi}, \tilde{\chi}$）。至关重要的是，由于 CC 相似变换的结构，涉及四个或更多线的顶点图解会消失。
• 静态分量与基态能量： 作者推导了精确的静态耦合簇自能分量 ($\tilde{\Sigma}^\infty$)，并证明耦合簇基态能量可以从自能及其关联密度矩阵中恢复，解决了此前 CC 与格林函数方法之间能量定义的差异。
• Bethe-Salpeter 核： 本文推导了耦合簇 BSE 核 ($\tilde{\Xi} = i \delta \tilde{\Sigma} / \delta \tilde{G}$) 的图解展开，强调了相互作用线对 $\tilde{G}$ 的泛函依赖性所带来的复杂性。
• CC-$G_0W_0$ 近似： 通过利用格林函数形式体系与 CC 理论之间的联系，作者引入了一种“CC-$G_0W_0$”自能。该近似利用环形 CCD (rCCD) 近似，并将相互作用矩阵截断在 2-粒子-1-空穴/2-空穴-1-粒子 (2p1h/2h1p) 激发空间内，搭建了 GW 理论与 CC 理论之间的桥梁。
• Dyson 超矩阵： 自能的谱表示被用于构建耦合簇 Dyson 超矩阵，从而产生精确的电离能和电子亲和能，这类似于电子 Dyson 超矩阵，但已针对非厄米 CC 环境进行了调整。

意义
本文声称为前人的研究结果（特别是文献 [43]）提供了一个“严谨的形式体系和扩展”，该结果适用于围绕任意参考态构建的耦合簇理论。通过统一 CC 和格林函数技术，这项工作提供了一个“形式上精确”的框架，阐明了在基于波函数的计算方法背景下，多体自能和 Bethe-Salpeter 核的本质。作者强调，这种视角的转变——将相似变换后的哈密顿量视为基本相互作用——揭示了在 CC 理论中自然产生的自能和格林函数的推导过程。该形式体系被视为理解非厄米多体系统中泛函-图解关系的必要步骤，并为开发结合两者优势的新型近似方法（如 CC-$G_0W_0$）奠定了理论基础。这项工作并非旨在提出新的实验应用，而是为凝聚态物理和核物理领域的未来计算发展建立理论基础。