Non-hermitian Green's function theory with $N$-body interactions: the coupled-cluster similarity transformation

Technische Zusammenfassung: Nicht-hermitesche Green'sche Funktionentheorie mit N-Körper-Wechselwirkungen: die Coupled-Cluster-Ähnlichkeitstransformation

Problemstellung
Das Formalismus der Green'schen Funktionen ist ein Eckpfeiler der Ab-initio-Vielekörpertentheorie und bietet eine vereinheitlichte Beschreibung von Grund- und angeregten Zuständen über die Ein-Teilchen-Green'sche Funktion und die irreduzible Selbstenergie. Traditionell wurde dieser Rahmen für hermitesche Hamiltonoperationen mit Zwei-Körper- (und jüngst auch Drei-Körper-) Wechselwirkungen entwickelt. Im Gegensatz dazu ist die Coupled-Cluster-Theorie (CC) eine primäre Methode zur Bestimmung von Grundeigenschaftseigenschaften, die über eine nicht-hermitesche Ähnlichkeitstransformation des Hamiltonoperators ($\bar{H} = e^{-T}He^T$) formuliert wird. Während frühere Versuche, diese Theorien zu kombinieren, sich hauptsächlich auf die Konstruktion der elektronischen Green'schen Funktion direkt aus CC-Eigenzuständen (IP/EA-EOM-CC) oder auf die Verbindung approximativer Selbstenergien (wie $G_0W_0$) mit CC konzentrierten, blieb eine rigorose, diagrammatische Green'sche Funktionentheorie für den nicht-hermiteschen N-Körper-Interaktions-Hamiltonoperator, der durch die CC-Ähnlichkeitstransformation erzeugt wird, bisher unerforscht. Insbesondere erfordert die Beziehung zwischen dem funktional-diagrammatischen Rahmen der Green'schen Funktionentheorie und der Coupled-Cluster-Ähnlichkeitstransformation ein neues Formalismus, um die aus der Normalordnung eines nicht-hermiteschen N-Körper-Operators resultierenden effektiven Wechselwirkungen zu handhaben.

Methodik
Die Autoren entwickeln ein neuartiges Green'sches Funktionsformalismus für allgemeine nicht-hermitesche N-Körper-Wechselwirkungen, das speziell auf die Coupled-Cluster-Ähnlichkeitstransformierte Hamiltonoperator angewendet wird. Die Methodik vollzieht sich durch folgende zentrale theoretische Schritte:

1. Biorthogonale Quantentheorie: Die Autoren erweitern Standard-Quantenmechanik-Bilder (Schrödinger, Heisenberg, Wechselwirkungsbild) auf nicht-hermitesche Systeme unter Verwendung einer biorthogonalen Basis. Sie definieren linke ($\langle \tilde{\Psi} |$) und rechte ($| \Psi \rangle$) Eigenzustände und etablieren ein biorthogonales Wechselwirkungsbild. Dies ermöglicht die Erweiterung des Gell-Mann- und Low-Theorems (GML) auf nicht-hermitesche Wechselwirkungen, was die perturbative Konstruktion von Korrelationsfunktionen ermöglicht.
2. Definition der Ein-Teilchen-Coupled-Cluster-Green'schen Funktion (SP-CCGF): Im Gegensatz zu früheren Ansätzen, die die Green'sche Funktion über transformierte Operatoren definieren, definiert diese Arbeit die SP-CCGF ($\tilde{G}$) direkt im biorthogonalen Heisenberg-Bild, das durch den ähnlichkeitstransformierten Hamiltonoperator $\bar{H}$ bestimmt wird:
   $$i\tilde{G}_{pq}(t_1, t_2) = \langle \tilde{\Psi}_0 | T \{ a_p(t_1) a^\dagger_q(t_2) \} | \Phi_0 \rangle$$
   wobei $|\Phi_0\rangle$ das Referenzdeterminant und $|\tilde{\Psi}_0\rangle$ der linke Eigenzustand ist.
3. Effektive Wechselwirkungen und Normalordnung: Die Autoren zeigen, dass die Konstruktion der Selbstenergie als Funktional der exakten Green'schen Funktion ($\tilde{\Sigma}[\tilde{G}]$) die Normalordnung des nicht-hermiteschen Hamiltonoperators bezüglich des biorthogonalen Grundzustands erfordert. Dies erzeugt effektive Ein-Teilchen-, Zwei-Teilchen- und höhere Körper-Wechselwirkungen ($\tilde{F}, \tilde{\Xi}, \tilde{\chi}$, etc.), die Funktionale von $\tilde{G}$ sind.
4. Diagrammatische Expansionen:
   • Perturbative Expansion: Die Autoren leiten die perturbative Expansion der irreduziblen Coupled-Cluster-Selbstenergie ($\tilde{\Sigma}[G_0]$) in Bezug auf die nicht-wechselwirkende Referenz-Green'sche Funktion ($G_0$) her. Diese Expansion umfasst Diagramme bis zur dritten Ordnung und zeigt das Auftreten effektiver Wechselwirkungen auf, die aufgrund der CC-Amplitudengleichungen verschwinden oder vereinfacht werden (z. B. das Verschwinden des virtuellen-besetzten Blocks).
   • Selbstkonsistente Renormierung: Unter Verwendung der exakten Bewegungsgleichung für $\tilde{G}$ leiten die Autoren die voll renormierte Selbstenergie-Funktional $\tilde{\Sigma}[\tilde{G}]$ her. Dies beinhaltet die Kopplung der Ein-Teilchen-Green'schen Funktion an höhere Green'sche Funktionen (4-Punkt, 6-Punkt, etc.) und die Definition entsprechender Vertex-Funktionen.
5. Verbindung zu Lagranged-Ableitungen: Die Arbeit stellt eine rigorose Verbindung zwischen der diagrammatischen Expansion der Selbstenergie und den Funktionalableitungen des Coupled-Cluster-Lagrange-Funktionalen nach der nicht-wechselwirkenden Green'schen Funktion her.

Wesentliche Beiträge und Ergebnisse

• Neuartiges Formalismus: Die Arbeit präsentiert den ersten diagrammatischen Theorie der irreduziblen Selbstenergie und des Bethe-Salpeter-Kernels (BSE) für eine allgemeine nicht-hermitesche N-Körper-Wechselwirkung, die speziell auf die Coupled-Cluster-Ähnlichkeitstransformation zugeschnitten ist.
• Exakte Dyson-Gleichung: Die Autoren leiten eine exakte Dyson-Gleichung für die SP-CCGF her, $\tilde{G} = G_0 + G_0 \tilde{\Sigma}[\tilde{G}] \tilde{G}$, wobei die Selbstenergie ein Funktional der exakten Coupled-Cluster-Green'schen Funktion ist.
• Diagrammatische Konsistenz: Die Studie detailliert die perturbative Expansion von $\tilde{\Sigma}$ bis zur dritten Ordnung. Sie zeigt, dass die Struktur der Standard-Elektronischen Selbstenergien ähnelt, jedoch die Wechselwirkung-Vertices durch effektive Wechselwirkungen ($\tilde{\Xi}, \tilde{\chi}$) ersetzt werden, die von der Green'schen Funktion abhängen. Entscheidend ist, dass Diagramme mit vier oder mehr Linien unterhalb eines Vertex aufgrund der Struktur der CC-Ähnlichkeitstransformation verschwinden.
• Statische Komponente und Grundzustandsenergie: Die Autoren leiten die exakte statische Komponente der Coupled-Cluster-Selbstenergie ($\tilde{\Sigma}^\infty$) her und zeigen, dass die Coupled-Cluster-Grundzustandsenergie aus der Selbstenergie und der zugehörigen Dichtematrix wiederhergestellt werden kann, wodurch frühere Diskrepanzen in den Energie-Definitionen zwischen CC und Green'schen Funktionen gelöst werden.
• Bethe-Salpeter-Kern: Das Papier leitet die diagrammatische Expansion für den Coupled-Cluster-BSE-Kern ($\tilde{\Xi} = i \delta \tilde{\Sigma} / \delta \tilde{G}$) her und hebt die Komplexität hervor, die durch die funktionale Abhängigkeit der Wechselwirkungslinien von $\tilde{G}$ entsteht.
• CC-$G_0W_0$-Approximation: Durch Nutzung der Verbindungen zwischen der Green'schen Funktionentheorie und der CC-Theorie führen die Autoren eine „CC-$G_0W_0$“-Selbstenergie ein. Diese Approximation nutzt die Ring-CCD-Approximation (rCCD) und beschränkt die Wechselwirkung-Matrizen auf 2-Teilchen-1-Loch/2-Loch-1-Teilchen (2p1h/2h1p) Anregungsräume, was eine Brücke zwischen der GW-Theorie und der CC-Theorie schlägt.
• Dyson-Supermatrix: Die Spektraldarstellung der Selbstenergie wird verwendet, um eine Coupled-Cluster-Dyson-Supermatrix zu konstruieren, die die exakten Ionisationspotentiale und Elektronenaffinitäten liefert, analog zur elektronischen Dyson-Supermatrix, jedoch angepasst für den nicht-hermiteschen CC-Kontext.

Signifikanz
Das Paper beansprucht, eine „rigorose Formulierung und Erweiterung“ früherer Ergebnisse (speziell Ref. [43]) auf die Coupled-Cluster-Theorie zu liefern, die um einen beliebigen Referenzzustand formuliert ist. Durch die Vereinheitlichung der Techniken der CC- und Green'schen Funktionentheorie bietet die Arbeit einen „formal exakten“ Rahmen, der die Natur der Viele-Körper-Selbstenergie und des Bethe-Salpeter-Kernels im Kontext von Wellenfunktionsbasierten Ansätzen klärt. Die Autoren betonen, dass dieser Perspektivwechsel – die Behandlung des ähnlichkeitstransformierten Hamiltonoperators als fundamentale Wechselwirkung – die Ableitung der Selbstenergie und der Green'schen Funktion offenbart, die natürlich innerhalb der CC-Theorie entstehen. Dieser Formalismus wird als notwendiger Schritt präsentiert, um die funktional-diagrammatischen Beziehungen in nicht-hermiteschen Viele-Körper-Systemen vollständig zu verstehen und neue Approximationen (wie CC-$G_0W_0$) zu entwickeln, die die Stärken beider theoretischer Rahmenwerke kombinieren. Die Arbeit schlägt keine neuen experimentellen Anwendungen vor, sondern etabliert das theoretische Fundament für zukünftige computergestützte Entwicklungen in der Festkörperphysik und Kernphysik.