Non-hermitian Green's function theory with $N$-body interactions: the coupled-cluster similarity transformation

Résumé technique : Théorie de la fonction de Green non hermitienne avec des interactions à N corps : la transformation de similitude de la méthode de Coupled-Cluster

Énoncé du problème
Le formalisme de la fonction de Green est une pierre angulaire de la théorie des corps multiples ab initio, fournissant une description unifiée des états fondamentaux et excités via la fonction de Green à une particule et l'auto-énergie irréductible. Traditionnellement, ce cadre a été développé pour des Hamiltoniens hermitiens impliquant des interactions à deux corps (et récemment à trois corps). À l'inverse, la théorie de Coupled-Cluster (CC) est une méthode primaire pour obtenir les propriétés de l'état fondamental, formulée via une transformation de similitude non hermitienne de l'Hamiltonien ($\bar{H} = e^{-T}He^T$). Bien que des tentatives antérieures aient combiné ces théories, elles se sont largement concentrées sur la construction directe de la fonction de Green électronique à partir des états propres de CC (IP/EA-EOM-CC) ou sur la connexion d'auto-énergies approximatives (comme $G_0W_0$) à CC. Une théorie de la fonction de Green diagrammatique rigoureuse pour l'interaction non hermitienne à $N$ corps générée par la transformation de similitude de CC est restée inexplorée. Spécifiquement, la relation entre le cadre fonctionnel-diagrammatique de la théorie de la fonction de Green et la transformation de similitude de CC nécessite un nouveau formalisme pour gérer les interactions effectives résultant de la normalisation d'un opérateur à $N$ corps non hermitien.

Méthodologie
Les auteurs développent un nouveau formalisme de la fonction de Green pour les interactions générales à $N$ corps non hermitiennes, appliqué spécifiquement à l'Hamiltonien de similitude de la méthode de coupled-cluster. La méthodologie procède par plusieurs étapes théoriques clés :

1. Théorie quantique biorthogonale : Les auteurs étendent les images quantiques standards (Schrödinger, Heisenberg, Interaction) aux systèmes non hermitiens en utilisant une base biorthogonale. Ils définissent les états propres à gauche ($\langle \tilde{\Psi} |$) et à droite ($| \Psi \rangle$) et établissent une image de l'Interaction biorthogonale. Cela permet l'extension du théorème de Gell-Mann et Low (GML) aux interactions non hermitiennes, permettant la construction perturbative des fonctions de corrélation.
2. Définition de la fonction de Green de Single-Particle Coupled-Cluster (SP-CCGF) : Contrairement aux approches précédentes qui définissent la fonction de Green via des opérateurs de transformation de similitude, ce travail définit la SP-CCGF ($\tilde{G}$) directement dans l'image de Heisenberg biorthogonale régie par l'Hamiltonien de similitude $\bar{H}$ :
   $$i\tilde{G}_{pq}(t_1, t_2) = \langle \tilde{\Psi}_0 | T \{ a_p(t_1) a^\dagger_q(t_2) \} | \Phi_0 \rangle$$
   où $|\Phi_0\rangle$ est le déterminant de référence et $|\tilde{\Psi}_0\rangle$ est l'état propre à gauche.
3. Interactions effectives et normalisation : Les auteurs démontrent que la construction de l'auto-énergie en tant que fonctionnelle de la fonction de Green exacte ($\tilde{\Sigma}[\tilde{G}]$) nécessite la normalisation de l'Hamiltonien non hermitien par rapport à l'état fondamental biorthogonal. Cela génère des interactions effectives à un corps, deux corps et ordres supérieurs ($\tilde{F}, \tilde{\Xi}, \tilde{\chi}$, etc.) qui sont des fonctionnelles de $\tilde{G}$.
4. Développements diagrammatiques :
   • Développement perturbatif : Les auteurs dérivent le développement perturbatif de l'auto-énergie de coupled-cluster irréductible ($\tilde{\Sigma}[G_0]$) par rapport à la fonction de Green de référence non interagissante ($G_0$). Ce développement inclut des diagrammes jusqu'au troisième ordre, révélant l'émergence d'interactions effectives qui s'annulent ou se simplifient en raison des équations d'amplitude de CC (par exemple, l'annulation du bloc virtuel-occupé).
   • Renormalisation auto-cohérente : En utilisant l'équation de mouvement exacte de $\tilde{G}$, les auteurs dérivent la fonctionnelle d'auto-énergie entièrement renormalisée $\tilde{\Sigma}[\tilde{G}]$. Cela implique le couplage de la fonction de Green à une particule avec des fonctions de Green d'ordre supérieur (4-points, 6-points, etc.) et la définition des fonctions de vertex correspondantes.
5. Lien avec les dérivées lagrangiennes : Le travail établit un lien rigoureux entre le développement diagrammatique de l'auto-énergie et les dérivées fonctionnelles du Lagrangien de Coupled-Cluster par rapport à la fonction de Green non interagissante.

Contributions clés et résultats

• Nouveau formalisme : L'article présente la première théorie diagrammatique de l'auto-énergie irréductible et du noyau de Bethe-Salpeter (BSE) pour une interaction générale à $N$ corps non hermitienne, spécifiquement adaptée à la transformation de similitude de CC.
• Équation de Dyson exacte : Les auteurs dérivent une équation de Dyson exacte pour la SP-CCGF, $\tilde{G} = G_0 + G_0 \tilde{\Sigma}[\tilde{G}] \tilde{G}$, où l'auto-énergie est une fonctionnelle de la fonction de Green de coupled-cluster exacte.
• Cohérence diagrammatique : L'étude détaille le développement perturbatif de $\tilde{\Sigma}$ jusqu'au troisième ordre. Elle montre que bien que la structure ressemble aux auto-énergies électroniques standards, les sommets d'interaction sont remplacés par des interactions effectives ($\tilde{\Xi}, \tilde{\chi}$) qui dépendent de la fonction de Green. Crucialement, les diagrammes impliquant quatre lignes ou plus sous un sommet s'annulent en raison de la structure de la transformation de similitude de CC.
• Composante statique et énergie fondamentale : Les auteurs dérivent la composante statique exacte de l'auto-énergie de coupled-cluster ($\tilde{\Sigma}^\infty$) et démontrent que l'énergie fondamentale de coupled-cluster peut être récupérée à partir de l'auto-énergie et de la matrice de densité associée, résolvant les divergences antérieures dans les définitions d'énergie entre les approches CC et de fonction de Green.
• Noyau de Bethe-Salpeter : Le papier dérive le développement diagrammatique du noyau BSE de coupled-cluster ($\tilde{\Xi} = i \delta \tilde{\Sigma} / \delta \tilde{G}$), soulignant la complexité introduite par la dépendance fonctionnelle des lignes d'interaction vis-à-vis de $\tilde{G}$.
• Approximation CC-$G_0W_0$ : En exploitant les connexions entre le formalisme de la fonction de Green et la théorie de CC, les auteurs introduisent une auto-énergie "CC-$G_0W_0$". Cette approximation utilise l'approximation ring-CCD (rCCD) et tronque les matrices d'interaction aux espaces d'excitation 2-particules-1-trou/2-trous-1-particule (2p1h/2h1p), fournissant un pont entre la théorie GW et la théorie CC.
• Supermatrice de Dyson : La représentation spectrale de l'auto-énergie est utilisée pour construire une supermatrice de Dyson de coupled-cluster, qui fournit les potentiels d'ionisation et les affinités électroniques exacts, de manière analogue à la supermatrice de Dyson électronique mais adaptée au contexte non hermitien de CC.

Signification
Le papier affirme fournir une « formulation et une extension rigoureuses » des résultats précédents (spécifiquement la Réf. [43]) à la théorie de coupled-cluster formulée autour d'un état de référence arbitraire. En unifiant les techniques de CC et de la théorie de la fonction de Green, ce travail offre un cadre « formellement exact » qui clarifie la nature de l'auto-énergie à corps multiples et du noyau de Bethe-Salpeter dans le contexte des approches basées sur la fonction d'onde. Les auteurs soulignent que ce changement de perspective — traiter l'Hamiltonien de similitude comme l'interaction fondamentale — dévoile la dérivation de l'auto-énergie et de la fonction de Green qui apparaissent naturellement au sein de la théorie CC. Ce formalisme est présenté comme une étape nécessaire pour comprendre pleinement les relations fonctionnelles-diagrammatiques dans les systèmes à corps multiples non hermitiens et pour développer de nouvelles approximations (comme CC-$G_0W_0$) qui combinent les forces de ces deux cadres théoriques. Le travail ne propose pas de nouvelles applications expérimentales mais établit le fondement théorique pour de futurs développements computationnels en physique de la matière condensée et en physique nucléaire.