Non-hermitian Green's function theory with $N$-body interactions: the coupled-cluster similarity transformation

Technische Samenvatting: Niet-hermitiaanse Green's functietheorie met N-lichaam interacties: de gekoppelde-cluster gelijktijdige transformatie

Probleemstelling
De Green's functie-formalisme is een hoeksteen van de ab initio veel-deeltjesleer en biedt een verenigde beschrijving van grondtoestanden en aangeslagen toestanden via de enkelvoudige deeltjes Green's functie en de irreducibele zelfenergie. Traditioneel is dit raamwerk ontwikkeld voor hermitische Hamiltonians met twee-lichaam (en recentelijk drie-lichaam) interacties. Daarentegen is de Coupled-Cluster (CC) theorie een primaire methode voor het verkrijgen van grondtoestandseigenschappen, geformuleerd via een niet-hermitische gelijktijdige transformatie van de Hamiltonian ($\bar{H} = e^{-T}He^T$). Hoewel eerdere pogingen deze theorieën hebben gecombineerd, richtten zij zich grotendeels op het direct construeren van de elektronische Green's functie uit CC-eigenfuncties (IP/EA-EOM-CC) of het verbinden van benaderde zelfenergieën (zoals $G_0W_0$) met CC. Een rigoureuze, diagrammatische Green's functietheorie voor de niet-hermitische, $N$-lichaam interactie Hamiltonian gegenereerd door de CC gelijktijdige transformatie is onverkend gebleven. Specifiek vereist de relatie tussen het functioneel-diagrammatische raamwerk van de Green's functietheorie en de CC gelijktijdige transformatie een nieuw formalisme om de effectieve interacties te behandelen die voortvloeien uit de normaalordening van een niet-hermitische $N$-lichaam operator.

Methodologie
De auteurs ontwikkelen een nieuw Green's functie formalisme voor algemene niet-hermitische $N$-lichaam interacties, specifiek toegepast op de gekoppelde-cluster gelijktijdige getransformeerde Hamiltonian:

1. Biorthogonale Kwantumtheorie: De auteurs breiden standaard kwantummechanische plaatjes (Schrödingers, Heisenberg, Interactie) uit naar niet-hermitische systemen met behulp van een biorthogonale basis. Ze definiëren linker ($\langle \tilde{\Psi} |$) en rechter ($| \Psi \rangle$) eigenfuncties en vestigen een biorthogonale Interactie-plaatje. Dit maakt het mogelijk om het Gell-Mann en Low (GML) theorema uit te breiden naar niet-hermitische interacties, wat de perturbatieve constructie van correlatiefuncties mogelijk maakt.
2. Definitie van de Enkelvoudige Deeltjes Gekoppelde-Cluster Green's Functie (SP-CCGF): In tegenstelling tot eerdere benaderingen die de Green's functie definiëren via gelijktijdig getransformeerde operatoren, definieert dit werk de SP-CCGF ($\tilde{G}$) direct in het biorthogonale Heisenberg-plaatje dat wordt beheerst door de gelijktijdig getransformeerde Hamiltonian $\bar{H}$:
   $$i\tilde{G}_{pq}(t_1, t_2) = \langle \tilde{\Psi}_0 | T \{ a_p(t_1) a^\dagger_q(t_2) \} | \Phi_0 \rangle$$
   waarbij $|\Phi_0\rangle$ de referentiedeterminant is en $|\tilde{\Psi}_0\rangle$ de linker eigenfunctie.
3. Effectieve Interacties en Normaalordening: De auteurs tonen aan dat het construeren van de zelfenergie als een functional van de exacte Green's functie ($\tilde{\Sigma}[\tilde{G}]$) het normaalordenen van de niet-hermitische Hamiltonian met betrekking tot de biorthogonale grondtoestand vereist. Dit genereert effectieve één-lichaam, twee-lichaam en hogere-lichaam interacties ($\tilde{F}, \tilde{\Xi}, \tilde{\chi}$, etc.) die functionalen zijn van $\tilde{G}$.
4. Diagrammatische Expansies:
   • Perturbatieve Expansie: De auteurs leiden de perturbatieve expansie van de irreducibele gekoppelde-cluster zelfenergie ($\tilde{\Sigma}[G_0]$) af ten opzichte van de niet-interagerende referentie Green's functie ($G_0$). Deze expansie bevat diagrammen tot de derde orde, waarbij de opkomst van effectieve interacties wordt onthuld die verdwijnen of vereenvoudigen door CC-amplitudevergelijkingen (bijv. het verdwijnen van de virtuele-bezet blok).
   • Zelfconsistente Renormalisatie: Gebruikmakend van de exacte bewegingsvergelijking voor $\tilde{G}$, leiden de auteurs de volledig gerenormaliseerde zelfenergie-functional $\tilde{\Sigma}[\tilde{G}]$ af. Dit omvat de koppeling van de enkelvoudige deeltjes Green's functie aan hogere-orde Green's functies (4-punt, 6-punt, etc.) en het definiëren van de bijbehorende vertexfuncties.
5. Verbinding met Lagrangian Afgeleiden: Het werk vestigt een rigoureuze link tussen de diagrammatische expansie van de zelfenergie en de functionele afgeleiden van de Gekoppelde-Cluster Lagrangian met betrekking tot de niet-interagerende Green's functie.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Nieuw Formalisme: Het artikel presenteert de eerste diagrammatische theorie van de irreducibele zelfenergie en de Bethe-Salpeter (BSE) kernel voor een algemene niet-hermitische $N$-lichaam interactie, specifiek afgestemd op de CC gelijktijdige transformatie.
• Exacte Dyson Vergelijking: De auteurs leiden een exacte Dyson vergelijking af voor de SP-CCGF, $\tilde{G} = G_0 + G_0 \tilde{\Sigma}[\tilde{G}] \tilde{G}$, waarbij de zelfenergie een functional is van de exacte gekoppelde-cluster Green's functie.
• Diagrammatische Consistentie: De studie details de perturbatieve expansie van $\tilde{\Sigma}$ tot de derde orde. Het toont aan dat hoewel de structuur lijkt op standaard elektronische zelfenergieën, de interactievertices worden vervangen door effectieve interacties ($\tilde{\Xi}, \tilde{\chi}$) die afhankelijk zijn van de Green's functie. Cruciaal is dat diagrammen met vier of meer lijnen onder een vertex verdwijnen vanwege de structuur van de CC gelijktijdige transformatie.
• Statisch Component en Grondtoestandsenergie: De auteurs leiden de exacte statische component van de gekoppelde-cluster zelfenergie ($\tilde{\Sigma}^\infty$) af en demonstreren dat de gekoppelde-cluster grondtoestandsenergie kan worden teruggewonnen uit de zelfenergie en de bijbehorende dichtheidsmatrix, waarmee eerdere discrepanties in energiedefinities tussen CC en Green's functiebenaderingen worden opgelost.
• Bethe-Salpeter Kernel: Het artikel leidt de diagrammatische expansie af voor de gekoppelde-cluster BSE kernel ($\tilde{\Xi} = i \delta \tilde{\Sigma} / \delta \tilde{G}$), waarbij de complexiteit wordt benadrukt die voortvloeit uit de functionele afhankelijkheid van interactielijnen van $\tilde{G}$.
• CC-$G_0W_0$ Benadering: Door gebruik te maken van de verbindingen tussen de Green's functietheorie en CC, introduceren de auteurs een "CC-$G_0W_0$" zelfenergie. Deze benadering maakt gebruik van de ring-CCD (rCCD) benadering en truncaert de interactiematrices naar 2-deeltje-1-gat/2-gat-1-deeltje (2p1h/2h1p) excitatie ruimtes, wat een brug slaat tussen GW-theorie en CC-theorie.
• Dyson Supermatrix: De spectrale representatie van de zelfenergie wordt gebruikt om een gekoppelde-cluster Dyson supermatrix te construeren, die de exacte ionisatiepotentialen en elektronaffiniteiten oplevert, analoog aan de elektronische Dyson supermatrix maar aangepast voor de niet-hermitische CC-context.

Significantie
Het artikel beweert een "rigoureuze formulering en uitbreiding" te bieden van eerdere resultaten (specifiek Ref. [43]) naar gekoppelde-cluster theorie geformuleerd rond een willekeurige referentietoestand. Door de technieken van CC en Green's functietheorie te verenigen, biedt het werk een "formeel exacte" het raamwerk dat de aard van de veel-lichaam zelfenergie en de Bethe-Salpeter kernel in de context van golffunctie-gebaseerde benaderingen verheldert. De auteurs benadrukken dat deze verandering van perspectief—het behandelen van de gelijktijdig getransformeerde Hamiltonian als de fundamentele interactie—de afleiding van de zelfenergie en Green's functie onthult die natuurlijk binnen de CC-theorie ontstaan. Dit formalisme wordt gepresenteerd als een noodzakelijke stap om de functioneel-diagrammatische relaties in niet-hermitische veel-lichaam systemen volledig te begrijpen en om nieuwe benaderingen (zoals CC-$G_0W_0$) te ontwikkelen die de sterke punten van beide theoretische kaders combineren. Het werk stelt geen nieuwe experimentele toepassingen voor, maar legt de theoretische basis voor toekomstige computationele ontwikkelingen in de gecondenseerde materie en kernkunde.