Non-hermitian Green's function theory with $N$-body interactions: the coupled-cluster similarity transformation

技術要約：N体相互作用を伴う非エルミート・グリーン関数論：結合クラスター・シミラリティ変換

問題の所在
グリーン関数形式は、一粒子グリーン関数および既約自己エネルギーを介して基底状態と励起状態の統一的な記述を提供する、アブイニシオ多体論の礎石である。伝統的に、この枠組みはエルミート・ハミルトニアン（および最近では3体相互作用を含む2体相互作用）に対して発展してきた。対照的に、結合クラスター（CC）理論は、非エルミートなハミルトニアンのシミラリティ変換（$\bar{H} = e^{-T}He^T$）を介して定式化される、基底状態の性質を得るための主要な手法である。これらの理論を組み合わせた過去の試みは、主にCC固有状態から電子グリーン関数を直接構築すること（IP/EA-EOM-CC）、あるいは近似的な自己エネルギー（$G_0W_0$など）をCCに接続することに焦点を当ててきた。非エルミートなN体演算子によって生成されるCCシミラリティ変換されたハミルトニアンに対する、厳密な図式的グリーン関数論は、未だ開拓されていない。具体的には、グリーン関数論の関数的・図式的枠組みと、CCシミラリティ変換との関係を扱うには、非エルミートなN体演算子の標準順序化から生じる有効相互作用を処理するための新しい形式論が必要となる。

手法
著者らは、一般的な非エルミートN体相互作用、特に結合クラスター・シミラリティ変換されたハミルトニアンに特化した、新しいグリーン関数形式論を展開している。その手法は、以下の主要な理論的ステップを通じて進行する：

1. 双直交量子論： 著者らは、双直交基底を用いることで、標準的な量子力学的描像（シュレディンガー、ハイゼンベルク、相互作用描像）を非エルミート系へと拡張する。彼らは左固有状態（$\langle \tilde{\Psi} |$）と右固有状態（$| \Psi \rangle$）を定義し、双直交相互作用描像を確立する。これにより、非エルミート相互作用に対するゲルマン・ロー（GML）定理の拡張が可能となり、相関関数の摂動的な構築が可能となる。
2. 単一粒子結合クラスター・グリーン関数（SP-CCGF）の定義： 本研究では、シミラリティ変換された演算子を介してグリーン関数を定義する従来のアプローチとは異なり、SP-CCGF（$\tilde{G}$）を、シミラリティ変換されたハミルトニアン$\bar{H}$によって支配される双直交ハイゼンベルク描像において直接定義する：
   $$i\tilde{G}_{pq}(t_1, t_2) = \langle \tilde{\Psi}_0 | T \{ a_p(t_1) a^\dagger_q(t_2) \} | \Phi_0 \rangle$$
   ここで、$|\Phi_0\rangle$は参照行列式であり、$|\tilde{\Psi}_0\rangle$は左固有状態である。
3. 有効相互作用と標準順序化： 著者らは、正確なグリーン関数の関数として自己エネルギー（$\tilde{\Sigma}[\tilde{G}]$）を構築するには、双直交基底状態に関して非エルミート・ハミルトニアンを標準順序化する必要があることを示す。これにより、$\tilde{G}$の関数である有効1体、2体、および高次体相互作用（$\tilde{F}, \tilde{\Xi}, \tilde{\chi}$など）が生成される。
4. 図式的展開：
   • 摂動展開： 著者らは、非相互作用の参照グリーン関数（$G_0$）に対する既約結合クラスター自己エネルギー（$\tilde{\Sigma}[G_0]$）の摂動展開を導出する。この展開は第3次までの図式を含み、有効相互作用（CC振幅方程式によって消失または簡略化されるもの、例えば仮想・占有ブロックの消失など）の出現を明らかにする。
   • 自己整合的繰り込み： $\tilde{G}$の厳密な運動方程式を用いて、完全に繰り込まれた自己エネルギー関数 $\tilde{\Sigma}[\tilde{G}]$ を導出する。これには、単一粒子グリーン関数を高次のグリーン関数（4点、6点など）および対応する頂点関数へと結合させるプロセスが含まれる。
5. ラグランジュ微分の接続： 本研究は、自己エネルギーの図式的展開と、非相互作用グリーン関数に関する結合クラスター・ラグランジュの関数微分との間の厳密な関連性を確立する。

主な貢献と結果

• 新しい形式論： 本論文は、一般的な非エルミートN体相互作用に対して、特にCCシミラリティ変換に合わせて設計された、既約自己エネルギーおよびベテ・サルピーター（BSE）カーネルの最初の図式的理論を提示している。
• 厳密なダイソン方程式： 著者らは、SP-CCGFに対する厳密なダイソン方程式 $\tilde{G} = G_0 + G_0 \tilde{\Sigma}[\tilde{G}] \tilde{G}$ を導出し、ここで自己エネルギーは正確な結合クラスター・グリーン関数の関数である。
• 図式的整合性： 本研究は、$\tilde{\Sigma}$の第3次までの摂動展開を詳述している。その構造は標準的な電子自己エネルギーと類似しているが、相互作用の頂点が、グリーン関数に依存する有効相互作用（$\tilde{\Xi}, \tilde{\chi}$）に置き換わっている。決定的なことに、CCシミラリティ変換の構造により、頂点の下で4本以上の線を含む図式は消失する。
• 静的成分と基底状態エネルギー： 著者らは、$\tilde{\Sigma}$の厳密な静的成分（$\tilde{\Sigma}^\infty$）を導出し、結合クラスターの基底状態エネルギーが自己エネルギーおよび関連する密度行列から回収できることを示し、エネルギーの定義におけるCCとグリーン関数法との間の従来の不一致を解決した。
• ベテ・サルピーター・カーネル： 本論文は、相互作用線のグリーン関数への関数的依存性がもたらす複雑さを強調しながら、結合クラスターBSEカーネル（$\tilde{\Xi} = i \delta \tilde{\Sigma} / \delta \tilde{G}$）の図式的展開を導出している。
• CC-$G_0W_0$近似： グリーン関数形式とCC理論との接続を利用することで、著者らは「CC-$G_0W_0$」自己エネルギーを導入した。この近似は、ring-CCD (rCCD) 近似を利用し、相互作用行列を2粒子1ホール/2ホール1粒子 (2p1h/2h1p) 励起空間に切り詰めるものである。これはGW理論とCC理論の架け橋となる。
• ダイソン・スーパーマトリックス： 自己エネルギーのスペクトル表現を用いて、結合クラスター・ダイソン・スーパーマトリックスを構成する。これは、電子ダイソン・スーパーマトリックスに類似しているが、非エルミートCCの文脈に適応させたものであり、正確なイオン化ポテンシャルおよび電子親和力を与える。

意義
本論文は、任意の参照状態について定式化された結合クラスター理論への、先行研究（具体的には文献[43]）の「厳密な定式化と拡張」を提供すると主張している。CCとグリーン関数論の技術を統合することにより、本研究は、多体自己エネルギーおよびベテ・サルピーター・カーネルの性質を、波動関数に基づくアプローチの文脈において明確にする「形式的に厳密な」枠組みを提供する。著者らは、シミラリティ変換されたハミルトニアンを基本相互作用として扱うというこの視点の変化が、CC理論内で自然に生じる自己エネルギーおよびグリーン関数の導出を明らかにするものであると強調している。この形式論は、非エルミート多体系における関数的・図式的関係を完全に理解し、両方の理論的枠組みの強みを組み合わせた新しい近似（CC-$G_0W_0$など）を開発するために必要なステップとして提示されている。本研究は新しい実験的応用を提案するものではなく、むしろ、物性物理学や核物理学における将来的な計算開発のための理論的基礎を築くものである。