Distributed model predictive control without terminal cost under inexact distributed optimization

Resumen Técnico: Control Predictivo de Modelo Distribuido sin Costo Terminal bajo Optimización Distribuida Inexacta

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda el control de sistemas lineales discretos distribuidos sujetos a restricciones acopladas. El desafío principal radica en diseñar un esquema de Control Predictivo de Modelo Distribuido (DMPC, por sus siglas en inglés) que garantice la estabilidad de bucle cerrado sin depender de costos o conjuntos terminales. Los enfoques tradicionales de DMPC suelen depender de costos y conjuntos terminales separables para asegurar la estabilidad; sin embargo, estos pueden enfrentar problemas de compatibilidad cuando las restricciones involucran todas las variables de estado y no pueden separarse fácilmente. Además, en aplicaciones prácticas de tiempo real, los algoritmos de optimización distribuida suelen terminar sus iteraciones prematuramente debido a límites computacionales o de comunicación, lo que resulta en una minimización "inexacta". Esta terminación temprana puede provocar violaciones de restricciones durante el proceso de optimización, lo cual es crítico en sistemas de seguridad crítica. El artículo tiene como objetivo desarrollar un enfoque de DMPC paralelo que garantice la estabilidad y mantenga la factibilidad a lo largo de las iteraciones de optimización, incluso bajo una optimización distribuida inexacta.

Metodología
El marco propuesto integra tres componentes principales: una novedosa formulación de estabilidad, un enfoque de síntesis distribuida y un algoritmo de optimización libre de violaciones.

1. Estabilidad sin Costo Terminal:
   En lugar de utilizar un costo terminal, los autores introducen una condición de estabilidad explícita basada en la Programación Dinámica Relajada (RDP). Para cada agente $i$, se añade una restricción de desigualdad adicional al problema de optimización local:
   $$\ell_i(x_i(k+N|k), u_i(k+N|k)) \leq (1-\alpha)\|x_i(k)\|^2_{Q_i} + v_i(k)$$
   donde $\ell_i$ es el costo por etapa, $\alpha \in (0,1]$ es un parámetro de relajación, y $v_i(k)$ es una variable de holgura (slack variable). Una restricción global $\sum v_i(k) \leq 0$ asegura que la suma de los costos locales actúe como una función de Lyapunov para el sistema global. Esta formulación permite garantizar la estabilidad del sistema de bucle cerrado sin necesidad de diseñar un costo o un conjunto terminal.

2. Síntesis Distribuida:
   Para manejar las restricciones acopladas y la nueva restricción de estabilidad de forma local, el problema se descompone. Los autores introducen variables de holgura $z^{[s]}$ para desacoplar las restricciones de desigualdad acopladas. El problema de optimización global se reformula en subproblemas locales donde cada agente minimiza un costo cuadrático sujeto a la dinámica local, restricciones locales y una versión modificada de las restricciones acopladas que involucra las variables de holgura.

3. Optimización Distribuida Libre de Violaciones:
   Para abordar el problema de las violaciones de restricciones durante la optimización iterativa (minimización inexacta), el artículo propone un enfoque de ajuste de restricciones (constraint tightening).

   • Ajuste de Restricciones: Se introduce un parámetro de ajuste $\delta_s \in (0,1]$. Las restricciones se ajustan durante las iteraciones para asegurar que, incluso si la optimización se termina prematuramente, la solución sea factible para el problema original.
   • Actualización Adaptativa: El método emplea un mecanismo adaptativo para actualizar la distribución de las restricciones acopladas entre los agentes. Si la brecha entre la restricción distribuida y el valor real de la restricción es significativa, los límites de la restricción se actualizan para mantener la factibilidad.
   • Algoritmo: Se desarrolla un algoritmo paralelo (Algoritmo 1) donde los agentes resuelven iterativamente problemas de optimización convexa local, intercambian información sobre las variables de holgura y los multiplicadores de Lagrange, y actualizan sus restricciones locales. El algoritmo garantiza que exista una solución factible en cada iteración y converge a la solución óptima del problema ajustado.

Contribuciones Clave
El artículo realiza las siguientes contribuciones específicas:

1. Nueva Formulación de DMPC: Desarrollo de un enfoque de DMPC sin costos terminales. Se incorpora como una restricción adicional una condición de estabilidad explícita derivada de RDP, eliminando la necesidad de costos y conjuntos terminales separables.
2. Manejo de la Estabilidad Local: Introducción de un enfoque de síntesis distribuida que permite a cada agente manejar la restricción de estabilidad localmente mediante variables de holgura.
3. Optimización Libre de Violaciones: Desarrollo de un método de optimización distribuida que asegura la factibilidad durante las iteraciones. Esto se logra mediante el ajuste de restricciones y un mecanismo de actualización adaptativa, abordando los problemas de violación de restricciones comunes en la optimización distribuida de terminación temprana.
4. Garantías Teóricas: Demostración de que el problema de optimización propuesto es convexo y que el enfoque de síntesis distribuida produce una solución factible para el problema original en cada iteración. El análisis teórico confirma que el sistema de bucle cerrado es estable y que la función de costo disminuye de forma monótona.

Resultados
El enfoque propuesto fue validado mediante un ejemplo numérico que involucra un pelotón de tres vehículos autónomos siguiendo a un líder en una autopista.

• Configuración de la Simulación: El sistema consistía en un vehículo líder y tres vehículos seguidores con restricciones de distancia acopladas, límites de velocidad y límites de entrada de control. El objetivo era mantener una distancia y velocidad deseadas.
• Desempeño: Las simulaciones se realizaron durante 200 pasos de control con variaciones en los horizontes de predicción ($N$) y los parámetros de RDP ($\alpha$).
  • Estabilidad: El costo por paso convergió a cero, y los errores de seguimiento de velocidad y posición permanecieron acotados, demostrando la estabilidad de bucle cerrado.
  • Factibilidad: El método encontró con éxito soluciones factibles para varios horizontes de predicción y valores de $\alpha$ donde los enfoques estándar podrían fallar (por ejemplo, $N=5, \alpha=0.5$).
  • Compromisos (Trade-offs): Los resultados indicaron que los horizontes más grandes ($N$) y los valores de $\alpha$ más pequeños generalmente mejoran el desempeño (menor costo total) y aumentan la región de atracción, a costa de un mayor tiempo de computación.
  • Computación Paralela: La simulación confirmó que cada agente podía computar su entrada de control en paralelo, validando la naturaleza distribuida de la síntesis.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que el enfoque de DMPC desarrollado ofrece una alternativa robusta a los métodos estándar basados en costos terminales. Al eliminar la dependencia de los costos terminales, el método evita los problemas de compatibilidad asociados con la separación de conjuntos terminales en sistemas con restricciones acopladas. Crucialmente, el enfoque de optimización "libre de violaciones" propuesto asegura que los sistemas de seguridad crítica no violen las restricciones durante el proceso de solución iterativa, incluso cuando la optimización se termina prematuramente debido a limitaciones de tiempo real. Los autores sostienen que el enfoque garantiza la estabilidad de bucle cerrado para cada secuencia de control factible, permitiendo al mismo tiempo la computación paralela por parte de los agentes. El trabajo se presenta como un paso hacia un control distribuido más práctico y seguro para sistemas multiagente, sugiriendo trabajos futuros para extender el marco a sistemas no lineales y el manejo de incertidumbres.