Distributed model predictive control without terminal cost under inexact distributed optimization

Résumé Technique : Commande Prédictive par Modèle Distribuée sans Coût Terminal sous Optimisation Distribuée Imprécise

Énoncé du Problème
Cet article traite de la commande de systèmes linéaires discrets distribués soumis à des contraintes couplées. Le défi principal consiste à concevoir un schéma de Commande Prédictive par Modèle Distribuée (DMPC) qui garantit la stabilité en boucle fermée sans dépendre de coûts terminaux ou d'ensembles terminaux. Les approches DMPC traditionnelles dépendent souvent de coûts et d'ensembles terminaux séparables pour assurer la stabilité ; cependant, ces derniers peuvent rencontrer des problèmes de compatibilité lorsque les contraintes impliquent toutes les variables d'état et ne peuvent pas être facilement séparées. De plus, dans les applications réelles en temps réel, les algorithmes d'optimisation distribuée terminent souvent leurs itérations prématurément en raison de limites de calcul ou de communication, ce qui résulte en une minimisation « imprécise ». Cette terminaison précoce peut entraîner des violations de contraintes lors du processus d'optimisation, ce qui est critique pour les systèmes de sécurité critique. L'article vise à développer une approche DMPC parallèle qui garantit la stabilité et maint la faisabilité tout au long des itérations d'optimisation, même sous une optimisation distribuée imprécise.

Méthodologie
Le cadre proposé intègre trois composantes fondamentales : une nouvelle formulation de stabilité, une approche de synthèse distribuée et un algorithme d'optimisation sans violation.

1. Stabilité sans Coût Terminal :
   Au lieu d'utiliser un coût terminal, les auteurs introduisent une condition de stabilité explicite basée sur la Programmation Dynamique Relaxée (RDP). Pour chaque agent $i$, une contrainte d'inégalité supplémentaire est ajoutée au problème d'optimisation local :
   $$\ell_i(x_i(k+N|k), u_i(k+N|k)) \leq (1-\alpha)\|x_i(k)\|^2_{Q_i} + v_i(k)$$
   où $\ell_i$ est le coût par étape, $\alpha \in (0,1]$ est un paramètre de relaxation, et $v_i(k)$ est une variable d'écart (slack variable). Une contrainte globale $\sum v_i(k) \leq 0$ garantit que la somme des coûts locaux agit comme une fonction de Lyapunov pour le système global. Cette formulation permet de garantir la stabilité du système en boucle fermée sans concevoir de coût ou d'ensemble terminal.

2. Synthèse Distribuée :
   Pour gérer les contraintes couplées et la nouvelle contrainte de stabilité localement, le problème est décomposé. Les auteurs introduisent des variables d'écart $z^{[s]}$ pour découpler les contraintes d'inégalité couplées. Le problème d'optimisation global est reformulé en sous-problèmes locaux où chaque agent minimise un coût quadratique sujet à une dynamique locale, des contraintes locales, et une version modifiée des contraintes couplées impliquant les variables d'écart.

3. Optimisation Distribuée Sans Violation :
   Pour traiter le problème des violations de contraintes pendant l'optimisation itérative (minimisation imprécise), l'article propose une approche de resserrement de contraintes (constraint tightening).

• Resserrement de Contraintes : Un paramètre de resserrement $\delta_s \in (0,1]$ est introduit. Les contraintes sont resserrées pendant les itérations pour garantir que, même si l'optimisation est interrompue prématurément, la solution reste faisable pour le problème original.
• Mise à jour Adaptative : La méthode utilise un mécanisme adaptatif pour mettre à jour la distribution des contraintes couplées entre les agents. Si l'écart entre la contrainte distribuée et la valeur réelle de la contrainte est significatif, les bornes de la contrainte sont mises à jour pour maintenir la faisabilité.
• Algorithme : Un algorithme parallèle (Algorithme 1) est développé où les agents résolvent de manière itérative des problèmes d'optimisation convexe locaux, échangent des informations concernant les variables d'écart et les multiplicateurs de Lagrange, et mettent à jour leurs contraintes locales. L'algorithme garantit qu'une solution faisable existe à chaque itération et converge vers la solution optimale du problème resserré.

Contributions Clés
L'article présente les contributions spécifiques suivantes :

1. Nouvelle Formulation DMPC : Développement d'une approche DMPC sans coûts terminaux. Une condition de stabilité explicite dérivée de la RDP est incorporée comme une contrainte supplémentaire, éliminant le besoin de coûts et d'ensembles terminaux séparables.
2. Gestion de la Stabilité Locale : Introduction d'une approche de synthèse distribuée permettant à chaque agent de gérer la contrainte de stabilité localement à l'aide de variables d'écart.
3. Optimisation Sans Violation : Développement d'une méthode d'optimisation distribuée qui assure la faisabilité tout au long des itérations. Cela est réalisé grâce au resserrement des contraintes et à un mécanisme de mise à jour adaptative, traitant les problèmes de violation de contraintes courants dans l'optimisation distribuée à terminaison précoce.
4. Garanties Théoriques : Preuve que le problème d'optimisation proposé est convexe et que l'approche de synthèse distribuée produit une solution faisable pour le problème original à chaque itération. L'analyse théorique confirme que le système en boucle fermée est stable et que la fonction de coût décroît de manière monotone.

Résultats
L'approche proposée a été validée par un exemple numérique impliquant un peloton de trois véhicules autonomes suivant un leader sur une autoroute.

• Configuration de la Simulation : Le système consistait en un véhicule leader et trois véhicules suiveurs avec des contraintes de distance couplées, des limites de vitesse et des limites d'entrée de commande. L'objectif était de maintenir une distance et une vitesse souhaitées.
• Performance : Les simulations ont été menées sur 200 étapes de commande avec des horizons de prédiction ($N$) et des paramètres RDP ($\alpha$) variables.
  • Stabilité : Le coût par étape a convergé vers zéro, et les erreurs de suivi de vitesse et de position sont restées bornées, démontant une stabilité en boucle fermée.
  • Faisabilité : La méthode a trouvé avec succès des solutions faisables pour diverses longueurs d'horizon et valeurs de $\alpha$ là où les approches standards pourraient échouer (ex: $N=5, \alpha=0.5$).
  • Compromis (Trade-offs) : Les résultats ont indiqué que des horizons plus larges ($N$) et des valeurs de $\alpha$ plus petites améliorent généralement les performances (coût total plus faible) et augmentent la région d'attraction, au prix d'un temps de calcul accru.
  • Calcul Parallèle : La simulation a confirmé que chaque agent pouvait calculer son entrée de commande en parallèle, validant la nature distribuée de la synthèse.

Signification et Revendications
L'article affirme que l'approche DMPC développée offre une alternative robuste aux méthodes standard basées sur le coût terminal. En supprimant la dépendance aux coûts terminaux, la méthode évite les problèmes de compatibilité associés à la séparation des ensembles terminaux dans les systèmes à contraintes couplées. Crucialement, l'approche d'optimisation « sans violation » proposée garantit que les systèmes de sécurité critique ne violent pas les contraintes pendant le processus de résolution itératif, même lorsque l'optimisation est interrompue prématurément en raison de limitations en temps réel. Les auteurs déclarent que l'approche assure la stabilité en boucle fermée pour chaque séquence de commande faisable tout en permettant le calcul parallèle par les agents. Ce travail est présenté comme une étape vers un contrôle distribué plus pratique et sûr pour les systèmes multi-agents, des travaux futurs étant suggérés pour étendre le cadre aux systèmes non linéaires et à la gestion des incertitudes.