Distributed model predictive control without terminal cost under inexact distributed optimization

Sintesi Tecnica: Controllo Predittivo del Modello Distribuito senza Costo Terminale sotto Ottimizzazione Distribuita Inesatta

Definizione del Problema
Questo articolo affronta il controllo di sistemi lineari discreti distribuiti soggetti a vincoli accoppiati. La sfida principale risiede nel progettare uno schema di Controllo Predittivo del Modello Distribuito (DMPC) che garantisca la stabilità in anello chiuso senza fare affidamento su costi terminali o insiemi terminali. Gli approcci DMPC tradizionali spesso dipendono da costi e insiemi terminali separabili per garantire la stabilità; tuttavia, questi possono incontrare problemi di compatibilità quando i vincoli coinvolgono tutte le variabili di stato e non possono essere facilmente separati. Inoltre, nelle applicazioni pratiche in tempo reale, gli algoritmi di ottimizzazione distribuita spesso terminano le iterazioni in anticipo a causa di limiti computazionali o di comunicazione, risultando in un'ottimizzazione "inesatta". Questa terminazione anticipata può portare a violazioni dei vincoli durante il processo di ottimizzazione, il che è critico per i sistemi safety-critical. L'articolo mira a sviluppare un approccio DMPC parallelo che garantisca la stabilità e mantenga la fattibilità durante le iterazioni di ottimizzazione, anche sotto ottimizzazione distribuita inesatta.

Metodologia
Il framework proposto integra tre componenti fondamentali: una nuova formulazione della stabilità, un approccio di sintesi distribuita e un algoritmo di ottimizzazione privo di violazioni.

1. Stabilità senza Costo Terminale:
   Invece di utilizzare un costo terminale, gli autori introducono una condizione di stabilità esplicita basata sulla Programmazione Dinamica Rilassata (RDP). Per ogni agente $i$, viene aggiunta un'ulteriore condizione di disuguaglianza al problema di ottimizzazione locale:
   $$\ell_i(x_i(k+N|k), u_i(k+N|k)) \leq (1-\alpha)\|x_i(k)\|^2_{Q_i} + v_i(k)$$
   dove $\ell_i$ è il costo di fase, $\alpha \in (0,1]$ è un parametro di rilassamento e $v_i(k)$ è una variabile di slack. Un vincolo globale $\sum v_i(k) \leq 0$ assicura che la somma dei costi locali agisca come una funzione di Lyapunov per l'intero sistema. Questa formulazione permette di garantire la stabilità del sistema in anello chiuso senza progettare un costo o un insieme terminale.

2. Sintesi Distribuita:
   Per gestire i vincoli accoppiati e il nuovo vincolo di stabilità localmente, il problema viene decomposto. Gli autori introducono variabili di slack $z^{[s]}$ per disaccoppiare i vincoli di disuguaglianza accoppiati. Il problema di ottimizzazione globale viene riformulato in sottoproblemi locali dove ogni agente minimizza un costo quadratico soggetto a dinamiche locali, vincoli locali e una versione modificata dei vincoli accoppiati che coinvolge le variabili di slack.

3. Ottimizzazione Distribuita Priva di Violazioni:
   Per affrontare il problema delle violazioni dei vincoli durante l'ottimizzazione iterativa (ottimizzazione inesatta), l'articolo propone un approccio di irrigidimento dei vincoli (constraint tightening).

   • Irrigidimento dei Vincoli: Un parametro di irrigidimento $\delta_s \in (0,1]$ viene introdotto. I vincoli vengono irrigiditi durante le iterazioni per garantire che, anche se l'ottimizzazione viene terminata anticipatamente, la soluzione rimanga fattibile per il problema originale.
   • Aggiornamento Adattivo: Il metodo impiega un meccanismo adattivo per aggiornare la distribuzione dei vincoli accoppiati tra gli agenti. Se il divario tra il vincolo distribuito e il valore effettivo del vincolo è significativo, i limiti del vincolo vengono aggiornati per mantenere la fattibilità.
   • Algoritmo: Viene sviluppato un algoritmo parallelo (Algoritmo 1) in cui gli agenti risolvono iterativamente problemi di ottimizzazione convessa locale, scambiano informazioni riguardanti le variabili di slack e i moltiplicatori di Lagrange, e aggiornano i propri vincoli locali. L'algoritmo garantisce che esista una soluzione fattibile ad ogni iterazione e converge alla soluzione ottimale del problema irrigidito.

Contributi Chiave
L'articolo apporta i seguenti contributi specifici:

1. Nuova Formulazione DMPC: Sviluppo di un approccio DMPC senza costi terminali. Una condizione di stabilità esplicita derivata dalla RDP viene incorporata come vincolo aggiuntivo, eliminando la necessità di costi e insiemi terminali separabili.
2. Gestione della Stabilità Locale: Introduzione di un approccio di sintesi distribuita che consente a ciascun agente di gestire il vincolo di stabilità localmente utilizzando variabili di slack.
3. Ottimizzazione Priva di Violazioni: Sviluppo di un metodo di ottimizzazione distribuita che garantisce la fattibilità durante le iterazioni. Ciò è ottenuto attraverso l'irrigidimento dei vincoli e un meccanismo di aggiornamento adattivo, affrontando i problemi di violazione dei vincoli comuni nell'ottimizzazione distribuita con terminazione anticipata.
4. Garanzie Teoriche: Dimostrazione che il problema di ottimizzazione proposto è convesso e che l'approccio di sintesi distribuita produce una soluzione fattibile per il problema originale ad ogni iterazione. L'analisi teorica conferma che il sistema in anello chiuso è stabile e che la funzione di costo decresce monotonicamente.

Risultati
L'approccio proposto è stato validato attraverso un esempio numerico riguardante un platoon di tre veicoli autonomi che seguono un leader su un'autostrada.

• Configurazione della Simulazione: Il sistema era composto da un veicolo leader e tre veicoli follower con vincoli di distanza accoppiati, limiti di velocità e limiti degli ingressi di controllo. L'obiettivo è mantenere una distanza e una velocità desiderate.
• Prestazioni: Le simulazioni sono state condotte per 200 passi di controllo con diversi orizzonti di predizione ($N$) e parametri RDP ($\alpha$).
  • Stabilità: Il costo per passo è convergente a zero, e gli errori di tracciamento della velocità e della posizione sono rimasti limitati, dimostrando la stabilità in anello chiuso.
  • Fattibilità: Il metodo ha trovato con successo soluzioni fattibili per vari orizzonti di predizione e valori di $\alpha$ in cui gli approcci standard potrebbero fallire (ad esempio, $N=5, \alpha=0.5$).
  • Trade-off: I risultati hanno indicato che orizzonti più ampi ($N$) e valori di $\alpha$ più piccoli migliorano generalmente le prestazioni (costo totale inferiore) e aumentano la regione di attrazione, a scapito del tempo di calcolo.
  • Calcolo Parallelo: La simulazione ha confermato che ogni agente può calcolare il proprio ingresso di controllo in parallelo, validando la natura distribuita della sintesi.

Significatività e Rivendicazioni
L'articolo sostiene che l'approccio DMPC sviluppato offre un'alternativa robusta ai metodi standard basati sul costo terminale. Rimuovendo la dipendenza dai costi terminali, il metodo evita i problemi di compatibilità associati alla separazione degli insiemi terminali in sistemi con vincoli accoppiati. Fondamentalmente, l'approccio di ottimizzazione "privo di violazioni" proposto assicura che i sistemi safety-critical non violino i vincoli durante il processo di soluzione iterativa, anche quando l'ottimizzazione viene terminata anticipatamente a causa di limitazioni in tempo reale. Gli autori affermano che l'approccio garantisce la stabilità in anello chiuso per ogni sequenza di controllo fattibile, consentendo al contempo il calcolo parallelo da parte degli agenti. Il lavoro è presentato come un passo verso un controllo distribuito più pratico e sicuro per i sistemi multi-agente, suggerendo come lavoro futuro l'estensione del framework a sistemi non lineari e la gestione delle incertezze.