Distributed model predictive control without terminal cost under inexact distributed optimization

Resumo Técnico: Controle Preditivo de Modelo Distribuído sem Custo Terminal sob Otimização Distribuída Inexata

Definição do Problema
Este artigo aborda o controle de sistemas lineares discretos distribuídos sujeitos a restrições acopladas. O principal desafio reside no projeto de um esquema de Controle Preditivo de Modelo Distribuído (DMPC) que garanta a estabilidade em malha fechada sem depender de custos ou conjuntos terminais. As abordagens tradicionais de DMPC frequentemente dependem de custos e conjuntos terminais separáveis para garantir a estabilidade; no entanto, estes podem encontrar problemas de compatibilidade quando as restrições envolvem todas as variáveis de estado e não podem ser facilmente separadas. Além disso, em aplicações práticas de tempo real, algoritmos de otimização distribuída frequentemente encerram as iterações precocemente devido a limites computacionais ou de comunicação, resultando em uma minimização "inexata". Este encerramento precoce pode levar a violações de restrições durante o processo de otimização, o que é crítico para sistemas de segurança crítica. O artigo visa desenvolver uma abordagem de DMPC paralelo que garanta a estababilidade e mantenha a viabilidade ao longo das iterações de otimização, mesmo sob otimização distribuída inexata.

Metodologia
O framework proposto integra três componentes principais: uma nova formulação de estabilidade, uma abordagem de síntese distribuída e um algoritmo de otimização livre de violações.

1. Estabilidade sem Custo Terminal:
   Em vez de usar um custo terminal, os autores introduzem uma condição de estabilidade explícita baseada em Programação Dinâmica Relaxada (RDP). Para cada agente $i$, uma restrição de desigualdade adicional é adicionada ao problema de otimização local:
   $$\ell_i(x_i(k+N|k), u_i(k+N|k)) \leq (1-\alpha)\|x_i(k)\|^2_{Q_i} + v_i(k)$$
   onde $\ell_i$ é o custo de estágio, $\alpha \in (0,1]$ é um parâmetro de relaxação e $v_i(k)$ é uma variável de folga (slack variable). Uma restrição global $\sum v_i(k) \leq 0$ garante que a soma dos custos locais atue como uma função de Lyapunov para o sistema global. Esta formulação permite que a estabilidade do sistema em malha fechada seja garantida sem o design de um custo ou conjunto terminal.

2. Síntese Distribuída:
   Para lidar com as restrições acopladas e a nova restrição de estabilidade localmente, o problema é decomposto. Os autores introduzem variáveis de folga $z^{[s]}$ para desacoplar as restrições de desigualdade acopladas. O problema de otimização global é reformulado em subproblemas locais onde cada agente minimiza um custo quadrático sujeito à dinâmica local, restrições locais e uma versão modificada das restrições acopladas envolvendo as variáveis de folga.

3. Otimização Distribuída Livre de Violações:
   Para abordar a questão das violações de restrição durante a otimização iterativa (minimização inexata), o artigo propõe uma abordagem de estreitamento de restrição (constraint tightening).

   • Estreitamento de Restrição: Um parâmetro de estreitamento $\delta_s \in (0,1]$ é introduzido. As restrições são estreitadas durante as iterações para garantir que, mesmo se a otimização for encerrada precocemente, a solução permaneça viável para o problema original.
   • Atualização Adaptativa: O método emprega um mecanismo adaptativo para atualizar a distribuição das restrições acopladas entre os agentes. Se a lacuna entre a restrição distribuída e o valor real da restrição for significativa, os limites das restrições são atualizados para manter a viabilidade.
   • Algoritmo: Um algoritmo paralelo (Algoritmo 1) é desenvolvido onde os agentes resolvem iterativamente problemas de otimização convexa local, trocam informações sobre variáveis de folga e multiplicadores de Lagrange, e atualizam suas restrições locais. O algoritmo garante que uma solução viável exista em cada iteração e converge para a solução ótima do problema estreitado.

Principais Contribuições
O artigo apresenta as seguintes contribuições específicas:

1. Nova Formulação de DMPC: Desenvolvimento de uma abordagem de DMPC sem custos terminais. Uma condição de estabilidade explícita derivada de RDP é incorporada como uma restrição adicional, eliminando a necessidade de custos e conjuntos terminais separáveis.
2. Tratamento de Estabilidade Local: Introdução de uma abordagem de síntese distribuída que permite que cada agente lide com a restrição de estabilidade localmente usando variáveis de folga.
3. Otimização Livre de Violações: Desenvolvimento de um método de otimização distribuída que garante a viabilidade ao longo das iterações. Isso é alcançado através do estreitamento de restrição e de um mecanismo de atualização adaptativa, abordando os problemas de violação de restrição comuns na otimização distribuída de encerramento precoce.
4. Garantias Teóricas: Prova de que o problema de otimização proposto é convexo e que a abordagem de síntese distribuída produz uma solução viável para o problema original em cada iteração. A análise teórica confirma que o sistema em malha fechada é estável e que a função de custo diminui monotonicamente.

Resultos
A abordagem proposta foi validada através de um exemplo numérico envolvendo um pelotão de três veículos autônomos seguindo um líder em uma rodovia.

• Configuração de Simulação: O sistema consistia em um veículo líder e três veículos seguidores com restrições de distância acopladas, limites de velocidade e limites de entrada de controle. O objetivo era manter uma distância e velocidade desejadas.
• Desempenho: As simulações foram conduzidas por 200 passos de controle com variando horizontes de predição ($N$) e parâmetros de RDP ($\alpha$).
  • Estabilidade: O custo por passo convergiu para zero, e os erros de rastreamento de velocidade e posição permaneceram limitados, demonstrando estabilidade em malha fechada.
  • Viabilidade: O método encontrou com sucesso soluções viáveis para vários comprimentos de horizonte e valores de $\alpha$ onde abordagens padrão poderiam falhar (ex: $N=5, \alpha=0.5$).
  • Compromissos (Trade-offs): Os resultados indicaram que horizontes maiores ($N$) e valores menores de $\alpha$ geralmente melhoram o desempenho (menor custo total) e aumentam a região de atração, ao custo de maior tempo de computação.
  • Computação Paralela: A simulação confirmou que cada agente pode computar sua entrada de controle em paralelo, validando a natureza distribuída da síntese.

Significância e Alegações
O artigo afirma que a abordagem de DMPC desenvolvida oferece uma alternativa robusta aos métodos padrão baseados em custo terminal. Ao remover a dependência de custos terminais, o método evita os problemas de compatibilidade associados à separação de conjuntos terminais em sistemas com restrições acopladas. Crucialmente, a abordagem de otimização "livre de violações" proposta garante que sistemas de segurança crítica não violem restrições durante o processo iterativo de solução, mesmo quando a otimização é encerrada precocemente devido a limitações de tempo real. Os autores afirmam que a abordagem garante a estabilidade em malha fechada para cada sequência de controle viável, permitindo simultaneamente a computação paralela pelos agentes. O trabalho é apresentado como um passo em direção a um controle distribuído mais prático e seguro para sistemas multiagentes, com trabalhos futuros sugeridos para estender o framework para sistemas não lineares e lidar com incertezas.