Distributed model predictive control without terminal cost under inexact distributed optimization

技術要約：不完全な分散最適化下における、終端コストを用いない分散モデル予測制御

問題提起
本論文は、結合制約を持つ分散線形離散時間システムの制御に取り組んでいる。主な課題は、終端コストや終端集合に依存することなく、閉ループ安定性を保証する分散モデル予測制御（DMPC）スキームを設計することである。従来のDMPC手法は、安定性を確保するために分離可能な終端コストや終端集合に依存することが多いが、これらはすべての状態変数にまたがる制約が含まれ、容易に分離できない場合に適合性の問題に直面することがある。さらに、実際のリアルタイムアプリケーションでは、計算や通信の制限により、分散最適化アルゴリズムが途中で反復を終了する「不完全な」最小化が発生することがある。この早期終了は、最適化プロセス中の制約違反を引き起こす可能性があり、これは安全性が極めて重要なシステムにおいて重大な問題となる。本論文は、不完全な分散最適化の下でも、安定性を確保し、最適化の反復中を通じて実現可能性を維持する並列DMPCアプローチの開発を目的としている。

手法
提案されるフレームワークは、3つのコアコンポーネント、すなわち、新しい安定性定式化、分散合成アプローチ、および違反のない最適化アルゴリズムを統合している。

1. 終端コストなしの安定性:
   終端コストを使用する代わりに、著者らは**緩和動的計画法（Relaxed Dynamic Programming: RDP）**に基づいた明示的な安定性条件を導入している。各エージェント $i$ に対して、局所最適化問題に以下の追加の不等式制約が加えられる：
   $$\ell_i(x_i(k+N|k), u_i(k+N|k)) \leq (1-\alpha)\|x_i(k)\|^2_{Q_i} + v_i(k)$$
   ここで、$\ell_i$ はステージコスト、$\alpha \in (0,1]$ は緩和パラメータ、$v_i(k)$ はスラック変数である。グローバルな制約 $\sum v_i(k) \leq 0$ は、局所コストの総和がシステム全体のリアプノフ関数として機能することを保証する。この定式化により、終端コストや終端集合を設計することなく、閉ループシステムの安定性を保証することが可能となる。

2. 分散合成:
   結合制約と新しい安定性制約を局所的に扱うために、問題は分解される。著者らは、結合された不等式制約をデカップル（分離）するためにスラック変数 $z^{[s]}$ を導入している。グローバルな最適化問題は、各エージェントが局所的な動力学、局所的な制約、およびスラック変数を含む修正された結合制約の下で二次コストを最小化する局所的なサブ問題へと再定式化される。

3. 違反のない分散最適化:
   最適化の反復中（不完全な最小化）における制約違反の問題に対処するため、本論文は**制約のタイトニング（縮小）**アプローチを提案している。

• 制約のタイトニング: タイトニングパラメータ $\delta_s \in (0,1]$ が導入される。最適化が早期に終了した場合でも、解が元の問題に対して実現可能であることを保証するために、反復中に制約がタイト化される。
• 適応的更新: 本手法は、結合制約の各エージェントへの配分を更新するための適応メカニメントを採用している。分散制約と実際の制約値との差が大きい場合、実現可能性を維持するために制約境界が更新される。
• アルゴリズム: 並列アルゴリズム（Algorithm 1）が開発されている。ここでは、エージェントが局所的な凸最適化問題を反復的に解き、スラック変数とラグランジュ乗数に関する情報を交換し、局所的な制約を更新する。このアルゴリズムは、すべての反復において実行可能な解が存在すること、およびタイト化された問題の最適解に収束することを保証する。

主な貢献
本論文の具体的な貢献は以下の通りである：

1. 新しいDMPC定式化: 終端コストを用いないDMPCアプローチの開発。RDPから導出された明示的な安定性条件が追加の制約として組み込まれており、これにより分離可能な終端コストや終端集合の必要性が排除されている。
2. 局所的な安定性の取り扱い: スラック変数を用いて各エージェントが安定性制約を局所的に扱える分散合成アプローチの導入。
3. 違反のない最適化: 反復プロセスを通じて実現可能性を保証する分散最適化手法の開発。これは、制約のタイトニングと適応的更新メカニズムを通じて達成され、早期終了した分散最適化で一般的な制約違反の問題に対処している。
4. 理論的保証: 提案された最適化問題が凸であり、分散合成アプローチがすべての反復において元の問題に対する実行可能な解をもたらすことの証明。理論的分析により、閉ループシステムが安定であり、コスト関数が単調に減少することが確認されている。

結果
提案された手法は、高速道路上でリーダーに従う3台の自動運転車両の隊列（プラトーン）を含む数値例を通じて検証された。

• シミュレーション設定: システムは、結合された距離制約、速度制限、および制御入力制限を持つリーダー車両1台とフォロワー車両3台で構成されている。目標は、所望の距離と速度を維持することである。
• 性能: シミュレーションは、予測ホライゾン（$N$）およびRDPパラメータ（$\alpha$）を変化させながら、200の制御ステップにわたって実施された。
  • 安定性: ステップあたりのコストはゼロに収束し、速度および位置の追従誤差は有界に保たれた。これは閉ループ安定性を実証している。
  • 実現可能性: 本手法は、標準的な手法では失敗する可能性のある様々なホライゾン長および $\alpha$ の値（例：$N=5, \alpha=0.5$）においても、実行可能な解を見事に発見した。
  • トレードオフ: 結果は、より大きなホライゾン（$N$）およびより小さな $\alpha$ 値が、計算時間の増加というコストを伴いながらも、一般的にパフォーマンス（総コストの低減）と吸引領域の拡大を改善することを示した。
  • 並列計算: シミュレーションにより、各エージェントが自身の制御入力を並列に計算できることが確認され、合成の分散的な性質が検証された。

意義と主張
本論文は、開発された分散MPCアプローチが、標準的な終端コストに基づく手法に代わる堅牢な選択肢を提供すると主張している。終端コストへの依存を取り除くことで、結合制約を持つシステムにおいて終端集合を分離することに伴う適合性の問題を回避できる。決定的なのは、提案された「違反のない」最適化アプローチが、最適化がリアルタイムの制限により早期終了した場合でも、反復的な解のプロセス中に制約を違反しないことを保証している点である。著者らは、このアプローチがすべての実行可能な制御シーケンスに対して閉ループ安定性を保証しつつ、エージェントによる並列計算を可能にすると述べている。本研究は、マルチエージェントシステムのための、より実用的かつ安全な分散制御への一歩として提示されており、非線形システムへの拡張や不確実性の取り扱いに関する今後の課題が示唆されている。