Distributed model predictive control without terminal cost under inexact distributed optimization

Technische Samenvatting: Gedistribueerde Model Voorspellende Regeling zonder Terminalkosten onder Onnauwkeurige Gedistribueerde Optimalisatie

Probleemstelling
Dit artikel behandelt de regeling van gedistribueerde lineaire discrete-tijd systemen onder onderling gekoppelde restricties. De primaire uitdaging ligt in het ontwerpen van een Distributed Model Predictive Control (DMPC) schema dat gesloten-lus stabiliteit garandeert zonder te vertrouwen op terminalkosten of terminalsets. Traditionele DMPC-benaderingen zijn vaak afhankelijk van scheidbare terminalkosten en -sets om stabiliteit te waarborgen; deze kunnen echter compatibiliteitsproblemen ondervinden wanneer restricties alle toestandsvariabelen bevatten en niet eenvoudig te scheiden zijn. Bovendien, in praktische real-time toepassingen, stoppen algoritmen voor gedistribueerde optimalisatie vaak voortijdig met iteraties vanwege computationele of communicatielimieten, wat resulteert in "onnauwkeurige" minimalisatie. Deze voortijdige beëindiging kan leiden tot schendingen van restricties tijdens het optimalisatieproces, wat kritiek is voor veiligheidskritische systemen. Het artikel beoogt een parallel DMPC-aanpak te ontwikkelen die stabiliteit garandeert en haalbaarheid behoudt gedurende de optimalisatie-iteraties, zelfs onder onnauwkeurige gedistribueerde optimalisatie.

Methodologie
Het voorgestelde raamwerk integreert drie kerncomponenten: een nieuwe stabiliteitsformulering, een gedistribueerde synthese-aanpak en een schendingsvrij optimalisatiealgoritme.

1. Stabiliteit zonder Terminalkosten:
   In plaats van een terminalkost introduceert de auteur een expliciete stabiliteitsconditie gebaseerd op Relaxed Dynamic Programming (RDP). Voor elke agent $i$ wordt een extra ongelijkheidsrestrictie toegevoegd aan het lokale optimalisatieprobleem:
   $$\ell_i(x_i(k+N|k), u_i(k+N|k)) \leq (1-\alpha)\|x_i(k)\|^2_{Q_i} + v_i(k)$$
   waarbij $\ell_i$ de stage cost is, $\alpha \in (0,1]$ een relaxatieparameter is, en $v_i(k)$ een slack-variabele is. Een globale restrictie $\sum v_i(k) \leq 0$ zorgt ervoor dat de som van de lokale kosten fungeert als een Lyapunov-functie voor het totale systeem. Deze formulering maakt het mogelijk om de stabiliteit van het gesloten-lus systeem te garanderen zonder een terminalkost of terminalset te ontwerpen.

2. Gedistribueerde Synthese:
   Om de gekoppelde restricties en de nieuwe stabiliteitsrestrictie lokaal af te handelen, wordt het probleem gedecomposeerd. De auteurs introduceren slack-variabelen $z^{[s]}$ om de gekoppelde ongelijkheidsrestricties te ontkoppelen. Het globale optimalisatieprobleem wordt geherformuleerd naar lokale subproblemen waarbij elke agent een kwadratische kostenfunctie minimaliseert onderhevig aan lokale dynamica, lokale restricties en een gemodificeerde versie van de gekoppelde restricties met betrekking tot de slack-variabelen.

3. Schendingsvrije Gedistribueerde Optimalisatie:
   Om het probleem van restrictieschendingen tijdens iteratieve optimalisatie (onnauwkeurige minimalisatie) aan te pakken, stelt het artikel een restrictie-verstrakking (constraint tightening) aanpak voor.

   • Restrictie-verstrakking: Een verstrakkingsparameter $\delta_s \in (0,1]$ wordt geïntroduceerd. De restricties worden tijdens de iteraties verstrakkt om te garanderen dat zelfs als de optimalisatie voortijdig wordt beëindigd, de oplossing haalbaar blijft voor het oorspronkelijke probleem.
   • Adaptieve Update: De methode maakt gebruik van een adaptief mechanisme om de distributie van de gekoppelde restricties onder de agenten bij te werken. Als het gat tussen de gedistribueerde restrictie en de werkelijke restrictiewaarde significant is, worden de restrictiegrenzen bijgewerkt om haalbaarheid te behouden.
   • Algoritme: Er wordt een parallel algoritme (Algoritme 1) ontwikkeld waarbij agenten iteratief lokale convexe optimalisatieproblemen oplossen, informatie uitwisselen over slack-variabelen en Lagrange-multiplicatoren, en hun lokale restricties bijwerken. Het algoritme garandeert dat er bij elke iteratie een haalbare oplossing bestaat en convergeert naar de optimale oplossing van het verstrakte probleem.

Belangrijkste Bijdragen
Het artikel levert de volgende specifieke bijdragen:

1. Nieuwe DMPC-formulering: Ontwikkeling van een DMPC-aanpak zonder terminalkosten. Een expliciete stabiliteitsconditie afgeleid van RDP wordt geïntegreerd als een extra restrictie, waardoor de noodzaak voor scheidbare terminalkosten en -sets wordt geëlimineerd.
2. Lokale Stabiliteitsafhandeling: Introductie van een gedistribueerde synthese-aanpak die elke agent in staat stelt de stabiliteitsrestrictie lokaal af te handelen met behulp van slack-variabelen.
3. Schendingsvrije Optimalisatie: Ontwikkeling van een gedistribueerde optimalisatiemethode die haalbaarheid garandeert gedurende de iteraties. Dit wordt bereikt door restrictie-verstrakking en een adaptief update-mechanisme, wat de problemen met restrictieschendingen aanpakt die veel voorkomen bij voortijdig beëindigde gedistribueerde optimalisatie.
4. Theoretische Garanties: Bewijs dat het voorgestelde optimalisatieprobleem convex is en dat de gedistribueerde synthese-aanpak bij elke iteratie een haalbare oplossing oplevert voor het oorspronkelijke probleem. Theoretische analyse bevestigt dat het gesloten-lus systeem stabiel is en de kostenfunctie monotoon afneemt.

Resultaten
De voorgestelde aanpak werd gevalideerd via een numeriek voorbeeld bestaande uit een platoon van drie autonome voertuigen die een leider volgen op een snelweg.

• Simulatieopzet: Het systeem bestond uit een leidend voertuig en drie volgende voertuigen met gekoppelde afstandrestricties, snelheidslimieten en controle-inputlimieten. Het doel is om een gewenste afstand en snelheid te handhaven.
• Prestaties: Simulaties werden uitgevoerd voor 200 controlesstappen met variërende voorspellingshorizonten ($N$) en RDP-parameters ($\alpha$).
  • Stabiliteit: De kosten per stap convergeerden naar nul, en de fouten in snelheid en positie-tracking bleven begrensd, wat gesloten-lus stabiliteit demonstreert.
  • Haalbaarheid: De methode vond succesvol haalbare oplossingen voor diverse horizonlengtes en $\alpha$-waarden waar standaard benaderingen zouden kunnen falen (bijv. $N=5, \alpha=0.5$).
  • Trade-offs: Resultaten gaven aan dat grotere horizonten ($N$) en kleinere $\alpha$-waarden over het algemeen de prestaties verbeterden (lagere totale kosten) en de regio van aantrekking vergrootten, ten koste van verhoogde computationele tijd.
  • Parallelle Computatie: De simulatie bevestigde dat elke agent zijn controle-input parallel kan berekenen, wat de gedistribueerde aard van de synthese valideert.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat de ontwikkelde gedistribueerde MPC-aanpak een robuust alternatief biedt voor standaard methoden gebaseerd op terminalkosten. Door de afhankelijkheid van terminalkosten te verwijderen, vermijdt de methode de compatibiliteitsproblemen die gepaard gaan met het scheiden van terminalsets in systemen met gekoppelde restricties. Cruciaal is dat de voorgestelde "schendingsvrije" optimalisatie-aanpak ervoor zorgt dat veiligheidskritische systemen geen restricties schenden tijdens het iteratieve oplossingsproces, zelfs wanneer de optimalisatie voortijdig wordt beëindigd vanwege real-time beperkingen. De auteurs stellen dat de aanpak gesloten-lus stabiliteit garandeert voor elke haalbare controle-sequentie, terwijl parallelle computatie door agenten mogelijk wordt gemaakt. Het werk wordt gepresenteerd als een stap naar meer praktische en veilige gedistribueerde regeling voor multi-agent systemen, waarbij toekomstig werk wordt gesuggereerd voor het uitbreiden van het raamwerk naar niet-lineaire systemen en het omgaan met onzekerheden.