Instantaneous Frequency in Power Systems using the Teager-Kaiser Energy Operator

Resumen Técnico: Frecuencia Instantánea en Sistemas de Potencia utilizando el Operador de Energía de Teager-Kaiser

Planteamiento del Problema
La estimación de la frecuencia instantánea (FI) es crítica para caracterizar fenómenos no estacionarios en los sistemas de potencia. Mientras que interpretaciones recientes vinculan la frecuencia del sistema de potencia con la cinemática de la frecuencia compleja y la geometría de las trayectorias de voltaje, los métodos de estimación convencionales dependen a menudo del Algoritmo de Separación de Energía (ESA) basado en el Operador de Energía de Teager-Kaiser (TKEO). Estos estimadores tradicionales asumen señales de banda estrecha y condiciones de "envolvente lenta" (donde las tasas de modulación de amplitud y frecuencia son pequeñas en relación con la frecuencia portadora). En los sistemas de potencia, particularmente durante transitorios o cuando los magnitudes de voltaje varían significativamente, estas suposiciones se violan con frecuencia. En consecuencia, los estimadores convencionales pueden producir estimaciones de frecuencia sesgadas porque omiten los términos dinámicos asociados con las variaciones de magnitud de voltaje.

Metodología
Los autores proponen un nuevo estimador de FI local derivado de la extensión del TKEO a señales complejas (CTKEO) y la aplicación de la identidad de señal dinámica. La metodología procede de la siguiente manera:

1. Formulación del TKEO Complejo: El TKEO estándar de valor real se generaliza a señales complejas utilizando una forma bilineal simétrica. Para una señal compleja $\bar{x}$, el operador se define como $\Psi_C(\bar{x}) = |\bar{x}'|^2 - \text{Re}(\bar{x}\bar{x}''^*)$. Esta formulación es aditiva en los componentes cartesianos e invariante a desplazos de fase constantes, evitando la necesidad de suposiciones de banda estrecha.
2. Derivación de la Identidad Exacta: Al expresar la señal compleja en términos de su magnitud $|\bar{x}|$ y fase $\phi$, y utilizando la definición de frecuencia compleja $\bar{\eta} = \rho + j\omega$ (donde $\rho$ es la tasa de magnitud y $\omega$ es la frecuencia angular), los autores derivan una identidad exacta en tiempo continuo:
   $$\Psi_C(\bar{x}) = |\bar{x}|^2 (2\omega^2 - \rho')$$
   Esta ecuación separa explícitamente el componente de energía rotacional del término de traslación asociado con la dinámica de la magnitud ($\rho'$).
3. Estimadores Propuestos:
   • $\omega_{TV}$ (Variante en el Tiempo): Resolver la identidad para $\omega$ produce un estimador que retiene los términos de corrección de la dinámica de magnitud ($\rho'$ y $\rho^2$). Esto proporciona una estimación corregida de sesgo para condiciones donde la magnitud de voltaje varía rápidamente.
   • $\omega_{TI}$ (Invariante en el Tiempo): Se deriva una aproximación simplificada asumiendo que la magnitud es constante o varía lentamente, efectivamente omitiendo los términos de corrección. Esto resulta en $\omega_{TI} = \sqrt{\Psi_C(\bar{x}) / (2|\bar{x}|^2)}$, lo cual es computacionalmente más simple y menos sensible al ruido, pero puede introducir sesgo durante transitorios de magnitud significativos.
4. Interpretación Geométrica: El estimador propuesto se alinea con la cinemática de la frecuencia compleja y admite una interpretación geométrica relacionada con la curvatura de la trayectoria de voltaje en el plano $(v_\alpha, v_\beta)$, asumiendo torsión cero.

Contribuciones Clave

• Expresión Novedosa: El artículo introduce una expresión de FI basada en CTKEO que hace explícitos los términos de curvatura de la envolvente. Esto corrige el sesgo inherente en los estimadores convencionales que omiten la dinámica de la magnitud.
• Corrección de Sesgo: A diferencia del ESA clásico, la formulación propuesta ($\omega_{TV}$) no depende de la aproximación de "envolvente lenta", lo que la hace teóricamente exacta para trayectorias de voltaje de dos dimensiones suaves y no nulas en tiempo continuo.
• Consistencia Geométrica: El estimador es consistente con la cinemática de la frecuencia compleja y proporciona una interpretación geométrica de la frecuencia sin requerir el desenrollado de fase explícito.
• Aproximación Práctica: El artículo proporciona una aproximación computacionalmente eficiente ($\omega_{TI}$) para escenarios donde las variaciones de magnitud son lentas, ofreciendo un compromiso entre precisión y sensibilidad al ruido.

Resultos
Los métodos propuestos fueron validados mediante dos estudios de caso:

1. Simulación EMT (Sistema IEEE 39-Bus): Las simulaciones de una falla trifásica mostraron que, bajo condiciones equilibradas con ruido, los estimadores propuestos ($\omega_{TV}$ y $\omega_{TI}$) coincidieron estrechamente con la frecuencia de referencia geométrica ($\omega_v$). En escenarios desequilibrados, los estimadores propuestos exhibieron menores oscilaciones en comparación con la referencia, sugiriendo que son menos afectados por las distorsiones de curvatura introducidas por los desequilibrios.
2. Mediciones de Campo (Planta de Energía Fotovoltaica): Las pruebas en datos de voltaje reales de una planta fotovoltaica en España demostraron que ambos estimadores siguieron la tendencia dominante de la referencia geométrica. Aunque aparecieron discrepancias durante intervalos con alto ruido y sensibilidad de la derivada (ya que $\omega_{TV}$ requiere derivadas de segundo orden), los resultados confirmaron que el $\omega_{TI}$ simplificado permanece prácticamente cerca del estimador completo variante en el tiempo bajo condiciones operativas realistas debido a la dinámica inherentemente lenta de las variaciones de magnitud.

El análisis cuantitativo en una señal sintética modulada en amplitud (Tabla I) mostró que el estimador variante en el tiempo ($\omega_{TV}$) redujo significativamente el Error Cuadrático Medio (RMSE) y el Error de Sesgo Medio (MBE) en comparación con el estimador invariante en el tiempo ($\omega_{TI}$), particularmente a frecuencias de muestreo más bajas.

Significación y Reivindicaciones
Los autores afirman que la principal significación de este trabajo radica en la derivación de una expresión de FI que explica explícitamente la dinámica de la magnitud de voltaje, corrigiendo así el sesgo encontrado en los estimadores simplificados utilizados en sistemas de potencia. El artículo sostiene que la formulación propuesta unifica las interpretaciones de energía no lineal y geométrica. No pretende reemplazar los estimadores existentes en todos los contextos, sino resaltar que $\omega_{TV}$ ofrece una realización local precisa del componente angular de la frecuencia compleja, mientras que $\omega_{TI}$ sirve como una aproximación confiable y más simple cuando la dinámica de la magnitud es negligible. El trabajo establece una base teórica para futuras extensiones a trayectorias tridimensionales (torsión no nula) y una validación más amplia frente a otras técnicas de estimación de frecuencia.