Instantaneous Frequency in Power Systems using the Teager-Kaiser Energy Operator

Sintesi Tecnica: Frequenza Istantanea nei Sistemi di Potenza utilizzando l'Operatore di Energia di Teager-Kaiser

Problema
La stima della frequenza istantanea (IF) è fondamentale per caratterizzare i fenomeni non stazionari nei sistemi di potenza. Sebbene interpretazioni recenti colleghino la frequenza di sistema alla cinematica della frequenza complessa e alla geometria delle traiettorie di tensione, i metodi di stima convenzionali spesso si basano sull'Algoritmo di Separazione dell'Energia (ESA) basato sull'Operatore di Energia di Teager-Kaiser (TKEO). Questi stimatori tradizionali assumono segnali a banda stretta e condizioni di "inviluppo lento" (dove i tassi di modulazione di ampiezza e frequenza sono piccoli rispetto alla frequenza portante). Nei sistemi di potenza, in particolare durante i transitori o quando le magnitudo di tensione variano significativamente, tali assunzioni sono frequentemente violate. Di conseguenza, gli stimatori convenzionali possono produrre stime di frequenza distorte poiché trascurano i termini dinamici associati alle variazioni della magnitudo di tensione.

Metodologia
Gli autori propongono un nuovo stimatore di IF locale derivato dall'estensione del TKEO ai segnali complessi (CTKEO) e dall'applicazione dell'identità del segnale dinamico. La metodologia procede come segue:

1. Formulazione del CTKEO Complesso: Il TKEO reale standard viene generalizzato per segnali complessi utilizzando una forma bilineare simmetrica. Per un segnale complesso $\bar{x}$, l'operatore è definito come $\Psi_C(\bar{x}) = |\bar{x}'|^2 - \text{Re}(\bar{x}\bar{x}''^*)$. Questa formulazione è additiva sulle componenti cartesiane ed è invariante rispetto a spostamenti di fase costanti, evitando la necessità di assunzioni a banda stretta.
2. Derivazione dell'Identità Esatta: Esprimendo il segnale complesso in termini della sua magnitudo $|\bar{x}|$ e della sua fase $\phi$, e utilizzando la definizione di frequenza complessa $\bar{\eta} = \rho + j\omega$ (dove $\rho$ è il tasso di variazione della magnitudo e $\omega$ è la frequenza angolare), gli autori derivano un'identità esatta nel tempo continuo:
   $$\Psi_C(\bar{x}) = |\bar{x}|^2 (2\omega^2 - \rho')$$
   Questa equazione separa esplicitamente la componente di energia rotazionale dal termine di traslazione associato alla dinamica della magnitudo ($\rho'$).
3. Stimatori Proposti:
   • $\omega_{TV}$ (Variabile nel Tempo): Risolvendo l'identità per $\omega$, si ottiene uno stimatore che mantiene i termini di correzione della dinamica della magnitudo ($\rho'$ e $\rho^2$). Ciò fornisce una stima corretta dal bias per condizioni in cui la magnitudo di tensione varia rapidamente.
   • $\omega_{TI}$ (Invariante nel Tempo): Viene derivata un'approssimazione semplificata assumendo che la magnitudo sia costante o vari lentamente, trascurando efficacemente i termini di correzione. Ciò risulta in $\omega_{TI} = \sqrt{\Psi_C(\bar{x}) / (2|\bar{x}|^2)}$, che è computazionalmente più semplice e meno sensibile al rumore, ma può introdurre bias durante transitori significativi della magnitudo.
4. Interpretazione Geometrica: Lo stimatore proposto si allinea con la cinematica della frequenza complessa e ammette un'interpretazione geometrica relativa alla curvatura della traiettoria di tensione nel piano $(v_\alpha, v_\beta)$, assumendo torsione nulla.

Contributi Chiave

• Espressione Novella: Il documento introduce un'espressione di IF basata su CTKEO che rende espliciti i termini di curvatura dell'inviluppo. Questo corregge il bias inerente ai convenzionali stimatori che trascurano la dinamica della magnitudo.
• Correzione del Bias: A differenza del classico ESA, la formulazione proposta ($\omega_{TV}$) non si basa sull'approssimazione di "inviluppo lento", rendendola teoricamente esatta per traiettorie di tensione bidimensionali lisce e non nulle nel tempo continuo.
• Consistenza Geometrica: Lo stimatore è coerente con la cinematica della frequenza complessa e fornisce un'interpretazione geometrica della frequenza senza richiedere lo srotolamento (unwrapping) esplicito della fase.
• Approssimazione Pratica: Il documento fornisce un'approssimazione computazionalmente efficiente ($\omega_{TI}$) per scenari in cui le variazioni di magnitudo sono lente, offrendo un compromesso tra accuratezza e sensibilità al rumore.

Risultati
I metodi proposti sono stati validati attraverso due casi di studio:

1. Simulazione EMT (Sistema IEEE 39-Bus): Le simulazioni di un guasto trifase hanno mostrato che, in condizioni bilanciate con rumore, i proposti stimatori ($\omega_{TV}$ e $\omega_{TI}$) corrispondono strettamente alla frequenza di riferimento geometrica ($\omega_v$). In scenari sbilanciati, i proposti stimatori hanno mostrato oscillazioni inferiori rispetto al riferimento, suggerendo che siano meno influenzati dalle distorsioni di curvatura introdotte dagli sbilanciamenti.
2. Misurazioni sul Campo (Impianto Fotovoltaico): I test su dati di tensione reali da un impianto fotovoltaico in Spagna hanno dimostrato che entrambi gli stimatori seguono il trend dominante del riferimento geometrico. Sebbene siano apparse discrepanze durante intervalli con alto rumore e sensibilità alle derivate (poiché $\omega_{TV}$ richiede derivate del secondo ordine), i risultati hanno confermato che il semplificato $\omega_{TI}$ rimane praticamente vicino alla stima completa variabile nel tempo in condizioni operative realistiche, grazie alla dinamica intrinsecamente lenta delle variazioni di magnitudo.

L'analisi quantitativa su un segnale sintetico a modulazione di ampiezza (Tabella I) ha mostrato che lo stimatore variabile nel tempo ($\omega_{TV}$) riduce significativamente l'Errore Quadratico Medio (RMSE) e l'Errore di Bias Medio (MBE) rispetto allo stimatore invariante nel tempo ($\omega_{TI}$), particolarmente a frequenze di campionamento inferiori.

Significatività e Rivendicazioni
Gli autori affermano che la principale significatività di questo lavoro risiede nella derivazione di un'espressione di IF che tiene esplicitamente conto della dinamica della magnitudo di tensione, correggendo così il bias presente negli stimatori semplificati utilizzati nei sistemi di potenza. Il documento asserisce che la formulazione proposta unifica le interpretazioni di energia non lineare e geometrica. Non si rivendica la sostituzione degli stimatori esistenti in tutti i contesti, ma si evidenzia come $\omega_{TV}$ offra una realizzazione locale precisa della componente angolare della frequenza complessa, mentre $\omega_{TI}$ funga da approssimazione affidabile e più semplice quando le dinamiche di magnitudo sono trascurabili. Il lavoro stabilisce una base teorica per future estensioni a traiettorie tridimensionali (torsione non nulla) e per una validazione più ampia rispetto ad altre tecniche di stima della frequenza.