Instantaneous Frequency in Power Systems using the Teager-Kaiser Energy Operator

Technische Samenvatting: Instantane Frequentie in Elektriciteitsnetten met behulp van de Teager-Kaiser Energy Operator

Probleemstelling
De schatting van de instantane frequentie (IF) is cruciaal voor het karakteriseren van niet-stationaire verschijnselen in elektriciteitsnetten. Hoewel recente interpretaties de netfrequentie koppelen aan complexe-frequentie kinematica en de geometrie van voltagesnelheden, vertrouwen conventionele schattingsmethoden vaak op het Energy Separation Algorithm (ESA) gebaseerd op de Teager-Kaiser Energy Operator (TKEO). Deze traditionele schatters gaan uit van smalbandige signalen en "slow-envelope" condities (waarbij de amplitude- en frequentiemodulatiesnelheden klein zijn ten opzichte van de draaggolf). In elektriciteitsnetten, met name tijdens transiënten of wanneer de voltagesignalen aanzienlijk variëren, worden deze aannames frequent geschonden. Bijgevolg kunnen conventionele schatters bevooroordeelde frequentieschattingen produceren omdat ze de dynamische termen die geassocieerd worden met variaties in de voltagesnelheid verwaarlozen.

Methodologie
De auteurs stellen een nieuwe lokale IF-schatter voor, afgeleid door de TKEO uit te breiden naar complexe signalen (CTKEO) en de dynamische-signaalidentiteit toe te passen. De methodologie verloopt als volgt:

1. Complexe TKEO-formulering: De standaard reële TKEO wordt gegeneraliseerd naar complexe signalen met behulp van een symmetrische bilineaire vorm. Voor een complex signaal $\bar{x}$ is de operator gedefinieerd als $\Psi_C(\bar{x}) = |\bar{x}'|^2 - \text{Re}(\bar{x}\bar{x}''^*)$. Deze formulering is additief op de Cartesiaanse componenten en invariant onder constante faseverschuivingen, waardoor de noodzaak voor smalbandige aannames wordt vermeden.
2. Afleiding van de Exacte Identiteit: Door het complexe signaal uit te drukken in termen van zijn magnitude $|\bar{x}|$ en fase $\phi$, en gebruikmakend van de definitie van complexe frequentie $\bar{\eta} = \rho + j\omega$ (waarbij $\rho$ de magnitude-snelheid is en $\omega$ de hoekfrequentie), leiden de auteurs een exacte continu-tijd identiteit af:
   $$\Psi_C(\bar{x}) = |\bar{x}|^2 (2\omega^2 - \rho')$$
   Deze vergelijking scheidt expliciet de rotationele energiecomponent van de translationele term geassocieerd met magnitude-dynamiek ($\rho'$).
3. Voorgestelde Schatters:
   • $\omega_{TV}$ (Tijdvariërend): Het oplossen van de identiteit voor $\omega$ levert een schatter op die de magnitude-dynamiek correctietermen ($\rho'$ en $\rho^2$) behoudt. Dit biedt een bias-gecorrigeerde schatting voor condities waarbij de voltagesnelheid snel varieert.
   • $\omega_{TI}$ (Tijdinvariant): Een vereenvoudigde benadering wordt afgeleid door aan te nemen dat de magnitude constant is of traag varieert, waarbij de correctietermen effectief worden verwaarloosd. Dit resulteert in $\omega_{TI} = \sqrt{\Psi_C(\bar{x}) / (2|\bar{x}|^2)}$, wat computationeel eenvoudiger is en minder gevoelig voor ruis, maar mogelijk een bias introduceert tijdens significante magnitude-transiënten.
4. Geometrische Interpretatie: De voorgestelde schatter sluit aan bij complexe-frequentie kinematica en staat een geometrische interpretatie toe gerelateerd aan de kromming van de voltagesnel in het $(v_\alpha, v_\beta)$ vlak, uitgaande van nul torsie.

Belangrijkste Bijdragen

• Nieuwe Expressie: Het artikel introduceert een CTKEO-gebaseerde IF-expressie die de envelope-krommingstermen expliciet maakt. Dit corrigeert de bias die inherent is aan conventionele schatters die magnitude-dynamiek verwaarlozen.
• Bias-correctie: In tegen tegen de klassieke ESA gebruikt de voorgestelde formulering ($\omega_{TV}$) geen "slow-envelope" benadering, waardoor deze theoretisch exact is voor gladde, niet-nul, twee-dimensionale voltagesnelheden in continue tijd.
• Geometrische Consistentie: De schatter is consistent met complexe-frequentie kinematica en biedt een geometrische interpretatie van frequentie zonder dat expliciete fase-unwrapping vereist is.
• Praktische Benadering: Het artikel biedt een computationeel efficiënte benadering ($\omega_{TI}$) voor scenario's waar magnitude-variaties traag zijn, wat een afweging biedt tussen nauwkeurigheid en ruisgevoeligheid.

Resultaten
De voorgestelde methoden werden gevalideerd via twee casestudies:

1. EMT-simulatie (IEEE 39-Bus Systeem): Simulaties van een driefasige fout toonden aan dat onder gebalanceerde condities met ruis, de voorgestelde schatters ($\omega_{TV}$ en $\omega_{TI}$) nauw aansloten bij de geometrische referentiefrequentie ($\omega_v$). In ongebalanceerde scenario's vertoonden de voorgestelde schatters minder oscillaties vergeleken met de referentie, wat suggereert dat ze minder worden beïnvloed door krommingverstoringen geïntroduceerd door onbalans.
2. Veldmetingen (PV-zonnepark): Tests op echte voltagesignalen van een PV-park in Spanje toonden aan dat beide schatters de dominante trend van de geometrische referentie volgden. Hoewel discrepanties verschenen tijdens intervallen met hoge ruis en afgeleide-gevoeligheid (aangezien $\omega_{TV}$ tweede-orde afgeleiden vereist), bevestigden de resultaten dat de vereenvoudigde $\omega_{TI}$ in de praktijk dicht bij de volledige tijdvariërende schat blijft onder realistische operationele condities, vanwege de inherent trage dynamiek van magnitude-variaties.

Kwantitatieve analyse op een synthetisch amplitude-gemoduleerd signaal (Tabel I) toonde aan dat de tijdvariërende schatter ($\omega_{TV}$) de Root Mean Square Error (RMSE) en de Mean Bias Error (MBE) aanzienlijk verminderde vergeleken met de tijdinvariante schatter ($\omega_{TI}$), met name bij lagere bemonsteringsfrequenties.

Betekenis en Claims
De auteurs stellen dat de primaire betekenis van dit werk ligt in de afleiding van een IF-expressie die expliciet rekening houdt met de voltagesnel-dynamiek, waardoor de bias in vereenvoudigde schatters die in elektriciteitsnetten worden gebruikt, wordt gecorrigeerd. Het artikel stelt dat de voorgestelde formulering niet-lineaire energie en geometrische interpretaties verenigt. Er wordt niet beweerd dat het bestaande schatters in alle contexten vervangt, maar er wordt benadrukt dat $\omega_{TV}$ een precieze lokale realisatie biedt van het hoekcomponent van de complexe frequentie, terwijl $\omega_{TI}$ dient als een betrouwbare, eenvoudigere benadering wanneer magnitude-dynamiek verwaarloosbaar is. Het werk legt een theoretische basis voor toekomstige uitbreidingen naar driedimensionale trajecten (niet-nul torsie) en bredere validatie tegen andere frequentieschattingstechnieken.