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Instantaneous Frequency in Power Systems using the Teager-Kaiser Energy Operator

यह शोध पत्र कॉम्प्लेक्स टीजर-काइज़र एनर्जी ऑपरेटर पर आधारित एक नवीन इंस्टेंटेनियस फ्रीक्वेंसी एस्टिमेटर प्रस्तावित करता है जो पावर सिस्टम सिग्नल्स में बायस को ठीक करने के लिए एनवेलप कर्वेचर को स्पष्ट रूप से समाहित करता है, जो बिना फेज अनरैपिंग के एक ज्यामितीय व्याख्या प्रदान करता है और महत्वपूर्ण परिमाण परिवर्तनों वाली स्थितियों में बेहतर सटीकता प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: A. Vaca, J. Gutierrez Florensa, F. Milano

प्रकाशित 2026-07-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: A. Vaca, J. Gutierrez Florensa, F. Milano

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक घूमते हुए लट्टू (spinning top) को देख रहे हैं। आमतौर पर, हम इसकी गति (आवृत्ति/frequency) को केवल इसके घूमने की रफ़्तार के रूप में देखते हैं। लेकिन वास्तविक दुनिया में, यह लट्टू डगमगा भी सकता है, या बड़ा या छोटा भी हो सकता है।

यह शोध पत्र उस घूमने की गति को मापने के एक नए, अधिक स्मार्ट तरीके के बारे में है, विशेष रूप से हमारे पावर ग्रिड में बहने वाली बिजली के लिए। लेखक, जो यूनिवर्सिटी कॉलेज डबलिन के शोधकर्ता हैं, उनका तर्क है कि पुराने तरीके अक्सर गति को गलत बताते हैं क्योंकि वे बिजली के संकेत के "डगमगाने" (wobbling) और "बड़ा होने या छोटा होने" (growing/shrinking) वाले हिस्सों को अनदेखा कर देते हैं।

यहाँ उनके विचार का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "फ्लैट टायर" की धारणा (The "Flat Tire" Assumption)

लंबे समय से, इंजीनियर बिजली के दोलन (oscillation) की गति मापने के लिए टीजर-काइज़र एनर्जी ऑपरेटर (TKEO) नामक एक उपकरण का उपयोग करते आए हैं। इस उपकरण को कार के स्पीडोमीटर की तरह समझें।

हालाँकि, पुराने स्पीडोमीटर एक सरल धारणा पर काम करते थे: कार एक पूरी तरह से समतल सड़क पर और एक स्थिर इंजन के साथ चल रही है। गणितीय रूप से, उन्होंने माना था कि बिजली का "आकार" (वोल्टेज मैग्नीट्यूड) समान रहता है या बहुत धीरे-धीरे बदलता है।

लेकिन वास्तविक जीवन में, पावर ग्रिड ऊबड़-खाबड़, पथरीले रास्तों पर चलती कारों की तरह हैं। तूफान, फॉल्ट (faults), या सौर ऊर्जा के उतार-चढ़ाव के दौरान वोल्टेज का आकार तेजी से बदलता है। जब "सड़क" ऊबड़-खाबड़ होती है, तो पुराना स्पीडोमीटर भ्रमित हो जाता है। यह गति की गणना करने की कोशिश करता है लेकिन अनजाने में "ऊबड़-खाबड़पन" (वोल्टेज के आकार में बदलाव) को ही गति का हिस्सा मान लेता है, जिससे रीडिंग पक्षपाती या गलत हो जाती है।

2. समाधान: "3D GPS" (CTKEO)

लेखकों ने एक नया, उन्नत टूल विकसित किया है जिसे कॉम्प्लेक्स टीजर-काइज़र एनर्जी ऑपरेटर (CTKEO) कहा जाता है।

केवल गति को देखने के बजाय, यह नया टूल बिजली के पथ की ज्यामिति (geometry) को देखता है।

पुराना तरीका: यह केवल यह देखता था कि सिग्नल कितनी तेजी से घूम रहा है (जैसे घूमते हुए लट्टू की 2D छाया को देखना)।
नया तरीका: यह सिग्नल के पूर्ण 3D पथ को देखता है, जिसमें यह भी शामिल है कि सिग्नल का "आकार" कैसे बदल रहा है (वक्रता/curvature)।

उन्होंने एक नया फॉर्मूला निकाला है जो स्पष्ट रूप से दो चीजों को अलग करता है:

घूर्णन (The Spin): बिजली वास्तव में कितनी तेजी से घूम रही है (वह आवृत्ति जिसे हम चाहते हैं)।
डगमगाहट (The Wobble): वोल्टेज का आकार कितनी तेजी से बदल रहा है (मैग्निट्यूड डायनेमिक्स)।

"डगमगाहट" को कुल ऊर्जा से गणितीय रूप से घटाकर, वे "घूर्णन" का एक शुद्ध और सटीक माप प्राप्त करते हैं, भले ही वोल्टेज पागलों की तरह ऊपर-नीचे हो रहा हो।

3. टूल के दो संस्करण

यह शोध पत्र इस नए कैलकुलेटर के दो संस्करण प्रस्तुत करता है:

"परफेक्ट" संस्करण ( $\omega_{TV}$ ): यह संस्करण वोल्टेज के आकार में होने वाले हर बदलाव को ध्यान में रखता है, चाहे वह कितना भी तेज़ या अराजक क्यों न हो। यह एक हाई-एंड GPS की तरह है जो आपके सटीक वेग की गणना करता है, भले ही आप किसी पहाड़ी रास्ते पर गाड़ी चला रहे हों। यह सबसे सटीक है लेकिन इसके लिए अधिक जटिल गणित (सेकंड डेरिवेटिव की गणना करना, जो यह मापने जैसा है कि त्वरण/acceleration कितनी तेजी से बदल रहा है) की आवश्यकता होती है।
"सरल" संस्करण ( $\omega_{TI}$ ): यह संस्करण यह मान लेता है कि वोल्टेज का आकार धीरे-धीरे बदलता है। यह गणित को आसान और तेज़ बनाने के लिए "डगमगाहट" (Wobble) वाले शब्दों को अनदेखा कर देता है। यह एक मानक स्पीडोमीटर की तरह है। शोध पत्र दिखाता है कि अधिकांश शांत, रोज़मर्रा की स्थितियों में, यह सरल संस्करण लगभग परफेक्ट वाले के समान ही अच्छा काम करता है। हालाँकि, यदि वोल्टेज अनियंत्रित हो जाता है (जैसे किसी बड़ी इलेक्ट्रिकल खराबी के दौरान), तो सरल संस्करण भटकने लगता है, जबकि "परफेक्ट" संस्करण सटीक बना रहता है।

4. उन्होंने इसका परीक्षण कैसे किया?

शोधकर्ताओं ने केवल कागज़ पर गणित नहीं किया; उन्होंने अपने विचार का दो तरीकों से परीक्षण किया:

कंप्यूटर सिमुलेशन: उन्होंने एक विशाल पावर ग्रिड (IEEE 39-बस सिस्टम) का सिमुलेशन किया और एक "क्रैश" (शॉर्ट सर्किट) पैदा किया। उन्होंने पाया कि जब ग्रिड असंतुलित था (जैसे फ्लैट टायर वाली कार), तो उनकी नई विधि स्थिर रही, जबकि पुराने तरीके अस्थिर (jittery) हो गए।
वास्तविक दुनिया का डेटा: उन्होंने स्पेन के एक सौर ऊर्जा संयंत्र के वास्तविक वोल्टेज डेटा का विश्लेषण किया। शोर (noise) वाले वास्तविक डेटा के बावजूद, उनके नए तरीके ने वास्तविक फ्रीक्वेंसी को बहुत बारीकी से ट्रैक किया, जिससे साबित हुआ कि यह कंप्यूटर लैब के बाहर भी काम करता है।

मुख्य निष्कर्ष (The Bottom Line)

यह शोध पत्र एक गणितीय "लेंस" पेश करता है जो इंजीनियरों को बिजली की वास्तविक गति देखने की अनुमति देता है, भले ही वोल्टेज अस्थिर हो। बिजली के सिग्नल के "आकार" में बदलाव को स्वीकार करके और उसके लिए सुधार करके, यह त्रुटिपूर्ण रीडिंग (bias) को रोकता है।

यदि ग्रिड शांत है: तो आप सरल, तेज़ संस्करण का उपयोग कर सकते हैं।
यदि ग्रिड अराजक है: तो सही उत्तर पाने के लिए आपको नए, जटिल संस्करण की आवश्यकता है।

यह पावर ग्रिड ऑपरेटरों को यह समझने में मदद करता है कि अस्थिर क्षणों के दौरान वास्तव में क्या हो रहा है, जिससे बिजली की आपूर्ति बनी रहती है।

तकनीकी सारांश: टेजर-काइज़र एनर्जी ऑपरेटर का उपयोग करके पावर सिस्टम में तात्कालिक आवृत्ति (Instantaneous Frequency)

समस्या विवरण
पावर सिस्टम में गैर-स्थिर (nonstationary) घटनाओं के लक्षण वर्णन के लिए तात्कालिक आवृत्ति (IF) का अनुमान लगाना अत्यंत महत्वपूर्ण है। जबकि हालिया व्याख्याएँ पावर सिस्टम फ्रीक्वेंसी को कॉम्प्लेक्स-फ्रीक्वेंसी किनेमैटिक्स और वोल्टेज प्रक्षेपवक्र (trajectories) की ज्यामिति से जोड़ती हैं, पारंपरिक अनुमान विधियाँ अक्सर टेजर-काइज़र एनर्जी ऑपरेटर (TKEO) पर आधारित एनर्जी सेपरेशन एल्गोरिदम (ESA) पर निर्भर करती हैं। ये पारंपरिक एस्टिमेटर नैरो-बैंड सिग्नल्स और "स्लो-एनवेलप" (slow-envelope) स्थितियों (जहाँ आयाम और आवृत्ति मॉड्यूलेशन दर कैरियर फ्रीक्वेंसी के सापेक्ष कम होती है) की धारणा रखते हैं। पावर सिस्टम में, विशेष रूप से ट्रांजिएंट्स के दौरान या जब वोल्टेज मैग्नीट्यूड महत्वपूर्ण रूप से परिवर्तित होता है, ये धारणाएँ अक्सर खंडित हो जाती हैं। इसके परिणामस्वरूप, पारंपरिक एस्टिमेटर्स पक्षपाती (biased) फ्रीक्वेंसी अनुमान उत्पन्न कर सकते हैं क्योंकि वे वोल्टेज मैग्नीट्यूड विविधताओं से जुड़े डायनेमिक टर्म्स की उपेक्षा करते हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक नवीन स्थानीय IF एस्टिमेटर प्रस्तावित करते हैं जो CTKEO (कॉम्प्लेक्स सिग्नल्स के लिए TKEO का विस्तार) और डायनेमिक-सिग्नल आइडेंटिटी को लागू करके प्राप्त किया गया है। कार्यप्रणाली इस प्रकार है:

कॉम्प्लेक्स TKEO फॉर्मूलेशन: मानक रियल-वैल्यूड TKEO को एक सिमेट्रिक बाइलिनियर फॉर्म का उपयोग करके कॉम्प्लेक्स सिग्नल्स के लिए सामान्यीकृत किया गया है। एक कॉम्प्लेक्स सिग्नल $\bar{x}$ के लिए, ऑपरेटर को $\Psi_C(\bar{x}) = |\bar{x}'|^2 - \text{Re}(\bar{x}\bar{x}''^*)$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यह फॉर्मूलेशन कार्टेशियन घटकों पर एडिटिव है और कांस्टेंट फेज शिफ्ट के प्रति इनवेरिएंट है, जिससे नैरो-बैंड धारणाओं की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।
सटीक पहचान (Exact Identity) का व्युत्पन्न: सिग्नल को उसके मैग्नीट्यूड $|\bar{x}|$ और फेज $\phi$ के रूप में व्यक्त करके, और कॉम्प्लेक्स फ्रीक्वेंसी $\bar{\eta} = \rho + j\omega$ (जहाँ $\rho$ मैग्नीट्यूड रेट है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है) की परिभाषा का उपयोग करके, लेखक एक सटीक कंटीन्यूअस-टाइम आइडेंटिटी व्युत्पन्न करते हैं:
$\Psi_C(\bar{x}) = |\bar{x}|^2 (2\omega^2 - \rho')$
यह समीकरण स्पष्ट रूप से रोटेशनल एनर्जी कंपोनेंट को मैग्नीट्यूड डायनेमिक्स ( $\rho'$ ) से जुड़े ट्रांसलेशन टर्म से अलग करता है।
प्रस्तावित एस्टिमेटर्स:
- $\omega_{TV}$ (Time-Varying): $\omega$ के लिए आइडेंटिटी को हल करने से एक ऐसा एस्टिमेटर प्राप्त होता है जो मैग्नीट्यूड-डायनेमिक्स करेक्शन टर्म्स ( $\rho'$ और $\rho^2$ ) को बनाए रखता है। यह उन स्थितियों में एक बायस-करेक्टेड एस्टिमेट प्रदान करता है जहाँ वोल्टेज मैग्नीट्यूड तेजी से बदलता है।
- $\omega_{TI}$ (Time-Invariant): एक सरलीकृत सन्निकटन (approximation) निकाला गया है जो यह मान लेता है कि मैग्नीट्यूड स्थिर है या धीरे बदलता है, जिससे करेक्शन टर्म्स को अनदेखा कर दिया जाता है। इसके परिणामस्वरूप $\omega_{TI} = \sqrt{\Psi_C(\bar{x}) / (2|\bar{x}|^2)}$ प्राप्त होता है, जो गणनात्मक रूप से सरल है और शोर (noise) के प्रति कम संवेदनशील है, लेकिन महत्वपूर्ण मैग्नीट्यूड ट्रांजिएंट्स के दौरान पक्षपाती हो सकता है।
ज्यामितीय व्याख्या (Geometric Interpretation): प्रस्तावित एस्टिमेटर कॉम्प्लेक्स-फ्रीक्वेंसी किनेमैटिक्स के अनुरूप है और शून्य टॉर्शन (zero torsion) मानते हुए $(v_\alpha, v_\beta)$ प्लेन में वोल्टेज प्रक्षेपवक्र की वक्रता (curvature) से संबंधित एक ज्यामितीय व्याख्या स्वीकार करता है।

मुख्य योगदान

नवीन अभिव्यक्ति: यह पेपर एक CTKEO-आधारित IF अभिव्यक्ति पेश करता है जो एनवेलप-कर्वेचर टर्म्स को स्पष्ट रूप से दर्शाती है। यह उन बायस को ठीक करता है जो पारंपरिक एस्टिमेटर्स में निहित होते हैं जो मैग्नीट्यूड डायनेमिक्स की उपेक्षा करते हैं।
बायस सुधार (Bias Correction): क्लासिकल ESA के विपरीत, प्रस्तावित फॉर्मूलेशन ( $\omega_{TV}$ ) "स्लो-एनवेलप" सन्निकटन पर निर्भर नहीं करता है, जिससे यह कंटीन्यूअस टाइम में स्मूथ, नॉन-जीरो, टू-डायमेंशनल वोल्टेज प्रक्षेपवक्रों के लिए सैद्धांतिक रूप से सटीक बनता है।
ज्यामितीय निरंतरता: एस्टिमेटर कॉम्प्लेक्स-फ्रीक्वेंसी किनेमैटिक्स के साथ सुसंगत है और स्पष्ट फेज अनरैपिंग की आवश्यकता के बिना फ्रीक्वेंसी की एक ज्यामितीय व्याख्या प्रदान करता है।
व्यावहारिक सन्निकटन: पेपर एक गणनात्मक रूप से कुशल सन्निकटन ( $\omega_{TI}$ ) प्रदान करता है जो उन परिदृश्यों के लिए है जहाँ मैग्नीट्यूड परिवर्तन धीमा है, जो सटीकता और नॉइज़ संवेदनशीलता के बीच एक संतुलन (trade-off) प्रदान करता है।

परिणाम
प्रस्तावित विधियों को दो केस स्टडीज के माध्यम से सत्यापित किया गया:

EMT सिमुलेशन (IEEE 39-Bus System): तीन-फेज फॉल्ट के सिमुलेशन ने दिखाया कि बैलेंस्ड कंडीशंस और नॉइज़ के तहत, प्रस्तावित एस्टिमेटर्स ( $\omega_{TV}$ और $\omega_{TI}$ ) ज्यामितीय संदर्भ फ्रीक्वेंसी ( $\omega_v$ ) के बहुत करीब थे। अनबैलेंस्ड परिदृश्यों में, प्रस्तावित एस्टिमेटर्स ने संदर्भ की तुलना में कम ऑसिलेशन प्रदर्शित किए, जो सुझाव देता है कि वे इम्बैलेंस द्वारा उत्पन्न कर्वेचर डिस्टॉर्शन से कम प्रभावित होते हैं।
फील्ड मेजरमेंट्स (PV पावर प्लांट): स्पेन के एक PV प्लांट के वास्तविक वोल्टेज डेटा पर परीक्षणों ने दिखाया कि दोनों एस्टिमेटर्स ज्यामितीय संदर्भ के प्रमुख ट्रेंड का अनुसरण करते हैं। हालांकि उच्च शोर और डेरिवेटिव संवेदनशीलता (क्योंकि $\omega_{TV}$ के लिए सेकंड-ऑर्डर डेरिवेटिव की आवश्यकता होती है) वाले अंतराल के दौरान विसंगतियां दिखाई दीं, परिणामों ने पुष्टि की कि सरलीकृत $\omega_{TI}$ वास्तविक परिचालन स्थितियों के तहत स्वाभाविक रूप से धीमी मैग्नीट्यूड डायनेमिक्स के कारण पूर्ण टाइम-वेरिंग एस्टिमेट के काफी करीब रहता है।

एक सिंथेटिक एम्प्लिट्यूड-मॉड्यूलेटेड सिग्नल पर मात्रात्मक विश्लेषण (तालिका I) ने दिखाया कि टाइम-वेरिंग एस्टिमेटर ( $\omega_{TV}$ ) ने टाइम-इनवेरिएंट एस्टिमेटर ( $\omega_{TI}$ ) की तुलना में, विशेष रूप से कम सैंपलिंग फ्रीक्वेंसी पर, रूट मीन स्क्वायर एरर (RMSE) और मीन बायस एरर (MBE) को महत्वपूर्ण रूप से कम किया।

महत्व और दावे
लेखक का दावा है कि इस कार्य का प्राथमिक महत्व एक ऐसे IF एक्सप्रेशन के व्युत्पन्न में निहित है जो स्पष्ट रूप से वोल्टेज-मैग्नीट्यूड डायनेमिक्स को ध्यान में रखता है, जिससे पावर सिस्टम में उपयोग किए जाने वाले सरलीकृत एस्टिमेटर्स में पाए जाने वाले बायस को सुधारा जा सके। पेपर का दावा है कि प्रस्तावित फॉर्मूलेशन नॉनलीनर एनर्जी और ज्यामितीय व्याख्याओं को एकीकृत करता है। यह सभी संदर्भों में मौजूदा एस्टिमेटर्स को बदलने का दावा नहीं करता है, बल्कि यह रेखांकित करता है कि $\omega_{TV}$ कॉम्प्लेक्स फ्रीक्वेंसी के कोणीय घटक का एक सटीक स्थानीय कार्यान्वयन प्रदान करता है, जबकि $\omega_{TI}$ एक विश्वसनीय, सरल सन्निकटन के रूप में कार्य करता है जब मैग्नीट्यूड डायनेमिक्स नगण्य होते हैं। यह कार्य तीन-आयामी प्रक्षेपवक्रों (नॉन-जीरो टॉर्शन) के लिए भविष्य के विस्तार और अन्य फ्रीक्वेंसी एस्टिमेशन तकनीकों के विरुद्ध व्यापक सत्यापन के लिए एक सैद्धांतिक आधार स्थापित करता है।

1. समस्या: "फ्लैट टायर" की धारणा (The "Flat Tire" Assumption)

2. समाधान: "3D GPS" (CTKEO)

3. टूल के दो संस्करण

4. उन्होंने इसका परीक्षण कैसे किया?

मुख्य निष्कर्ष (The Bottom Line)

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