Instantaneous Frequency in Power Systems using the Teager-Kaiser Energy Operator

Résumé technique : Fréquence instantanée dans les réseaux électriques à l'aide de l'opérateur d'énergie de Teager-Kaiser

Énoncé du problème
L'estimation de la fréquence instantanée (FI) est cruciale pour caractériser les phénomènes non stationnaires dans les réseaux électriques. Bien que des interprétations récentes lient la fréquence du réseau à la cinématique de la fréquence complexe et à la géométrie des trajectoires de tension, les méthodes d'estimation conventionnelles reposent souvent sur l'algorithme de séparation de l'énergie (ESA) basé sur l'opérateur d'énergie de Teager-Kaiser (TKEO). Ces estimateurs traditionnels supposent des signaux à bande étroite et des conditions d'« enveloppe lente » (où les taux de modulation d'amplitude et de fréquence sont faibles par rapport à la fréquence porteuse). Dans les réseaux électriques, particulièrement lors de transitoires ou lorsque les magnitudes de tension varient considérablement, ces hypothèses sont fréquemment violées. Par conséquent, les estimateurs conventionnels peuvent produire des estimations de fréquence biaisées car ils négligent les termes dynamiques associés aux variations de la magnitude de tension.

Méthodologie
Les auteurs proposent un nouvel estimateur de FI locale dérivé de l'extension du TKEO aux signaux complexes (CTKEO) et de l'application de l'identité du signal dynamique. La méthodologie procède comme suit :

1. Formulation du CTKEO complexe : Le TKEO réel standard est généralisé aux signaux complexes en utilisant une forme bilinéaire symétrique. Pour un signal complexe $\bar{x}$, l'opérateur est défini par $\Psi_C(\bar{x}) = |\bar{x}'|^2 - \text{Re}(\bar{x}\bar{x}''^*)$. Cette formulation est additive sur les composantes cartésiennes et invariante aux déphasages constants, évitant ainsi le recours aux hypothèses de bande étroite.
2. Dérivation de l'identité exacte : En exprimant le signal complexe en termes de sa magnitude $|\bar{x}|$ et de sa phase $\phi$, et en utilisant la définition de la fréquence complexe $\bar{\eta} = \rho + j\omega$ (où $\rho$ est le taux de variation de la magnitude et $\omega$ la fréquence angulaire), les auteurs dérivent une identité exacte en temps continu :
   $$\Psi_C(\bar{x}) = |\bar{x}|^2 (2\omega^2 - \rho')$$
   Cette équation sépare explicitement la composante d'énergie de rotation du terme de translation associé à la dynamique de la magnitude ($\rho'$).
3. Estimateurs proposés :
   • $\omega_{TV}$ (Variable dans le temps) : En résolvant l'identité pour $\omega$, on obtient un estimateur qui conserve les termes de correction de la dynamique de la magnitude ($\rho'$ et $\rho^2$). Cela fournit une estimation corrigée du biais pour les conditions où la magnitude de tension varie rapidement.
   • $\omega_{TI}$ (Invariante dans le temps) : Une approximation simplifiée est dérivée en supposant que la magnitude est constante ou varie lentement, négligeant ainsi les termes de correction. Cela donne $\omega_{TI} = \sqrt{\Psi_C(\bar{x}) / (2|\bar{x}|^2)}$, ce qui est plus simple sur le plan computationnel et moins sensible au bruit, mais peut introduire un biais lors de transitoires de magnitude importants.
4. Interprétation géométrique : L'estimateur proposé s'aligne sur la cinématique de la fréquence complexe et admet une interprétation géométrique liée à la courbure de la trajectoire de tension dans le plan $(v_\alpha, v_\beta)$, en supposant une torsion nulle.

Principales contributions

• Expression novatrice : Le document introduit une expression de FI basée sur le CTKEO qui rend explicites les termes de courbure de l'enveloppe. Cela corrige le biais inhérent aux estimateurs conventionnels qui négligent la dynamique de la magnitude.
• Correction du biais : Contrairement à l'ESA classique, la formulation proposée ($\omega_{TV}$) ne repose pas sur l'approximation de l'« enveloppe lente », ce qui la rend théoriquement exacte pour des trajectoires de tension bidimensionnelles lisses et non nulles en temps continu.
• Cohérence géométrique : L'estimateur est cohérent avec la cinématique de la fréquence complexe et fournit une interprétation géométrique de la fréquence sans nécessendre de déroulement de phase explicite.
• Approximation pratique : Le document fournit une approximation efficace sur le plan computationnel ($\omega_{TI}$) pour les scénarios où les variations de magnitude sont lentes, offrant un compromis entre précision et sensibilité au bruit.

Résultats
Les méthodes proposées ont été validées par deux études de cas :

1. Simulation EMT (Système IEEE 39-bus) : Les simulations d'un défaut triphasé ont montré que dans des conditions équilibrées avec du bruit, les estimateurs proposés ($\omega_{TV}$ et $\omega_{TI}$) correspondent étroitement à la fréquence de référence géométrique ($\omega_v$). Dans les scénarios déséquilibrés, les estimateurs proposés présentent moins d'oscillations que la référence, suggérant qu'ils sont moins affectés par les distorsions de courbure introduites par les déséquilibres.
2. Mesures de terrain (Centrale PV) : Des tests sur des données de tension réelles provenant d'une centrale PV en Espagne ont démontré que les deux estimateurs suivent la tendance dominante de la référence géométrique. Bien que des écarts apparaissent lors d'intervalles à bruit élevé et à sensibilité de dérivée élevée (car $\omega_{TV}$ nécessite des dérivées du second ordre), les résultats confirment que l'estimateur simplifié $\omega_{TI}$ reste pratiquement proche de l'estimation complète variable dans le temps en raison de la dynamique intrinsèquement lente des variations de magnitude.

Une analyse quantitative sur un signal à modulation d'amplitude synthétique (Tableau I) a montré que l'estimateur variable dans le temps ($\omega_{TV}$) réduit significativement l'erreur quadratique moyenne (RMSE) et l'erreur de biais moyen (MBE) par rapport à l'estimateur invariant dans le temps ($\omega_{TI}$), particulièrement à des fréquences d'échantillonnage plus basses.

Signification et affirmations
Les auteurs affirment que la principale importance de ce travail réside dans la dérivation d'une expression de FI qui tient explicitement compte de la dynamique de la magnitude de tension, corrigeant ainsi le biais des estimateurs simplifiés utilisés dans les réseaux électriques. Le document affirme que la formulation proposée unifie les interprétations d'énergie non linéaire et géométrique. Il ne prétend pas remplacer les estimateurs existants dans tous les contextes, mais souligne que $\omega_{TV}$ offre une réalisation locale précise de la composante angulaire de la fréquence complexe, tandis que $\omega_{TI}$ sert d'approximation fiable et plus simple lorsque la dynamique de la magnitude est négligeable. Ce travail établit une base théorique pour de futures extensions aux trajectoires tridimensionnelles (torsion non nulle) et une validation plus large par rapport à d'autres techniques d'estimation de fréquence.