Instantaneous Frequency in Power Systems using the Teager-Kaiser Energy Operator

Resumo Técnico: Frequência Instantânea em Sistemas de Potência utilizando o Operador de Energia de Teager-Kaiser

Problema
A estimativa da frequência instantânea (FI) é crítica para caracterizar fenômenos não estacionários em sistemas de potência. Embora interpretações recentes vinculem a frequência do sistema de potência à cinemática de frequência complexa e à geometria das trajetórias de tensão, os métodos convencionais de estimativa frequentemente dependem do Algoritmo de Separação de Energia (ESA) baseado no Operador de Energia de Teager-Kaiser (TKEO). Esses estimadores tradicionais assumem sinais de banda estreita e condições de "envelope lento" (onde as taxas de modulação de amplitude e frequência são pequenas em relação à frequência portadora). Em sistemas de potência, particularmente durante transientes ou quando as magnitudes de tensão variam significamente, essas suposições são frequentemente violadas. Consequentemente, os estimadores convencionais podem produzir estimativas de frequência enviesadas porque negligenciam os termos dinâmicos associados às variações de magnitude de tensão.

Metodologia
Os autores propõem um novo estimador de FI local derivado da extensão do TKEO para sinais complexos (CTKEO) e da aplicação da identidade de sinal dinâmico. A metodologia procede da seguinte forma:

1. Formulação do TKEO Complexo: O TKEO padrão de valor real é generalizado para sinais complexos usando uma forma bilinear simétrica. Para um sinal complexo $\bar{x}$, o operador é definido como $\Psi_C(\bar{x}) = |\bar{x}'|^2 - \text{Re}(\bar{x}\bar{x}''^*)$. Esta formulação é aditiva nas componentes cartesianas e invariante a deslocamentos de fase constantes, evitando a necessidade de suposições de banda estreita.
2. Derivação da Identidade Exata: Ao expressar o sinal complexo em termos de sua magnitude $|\bar{x}|$ e fase $\phi$, e utilizando a definição de frequência complexa $\bar{\eta} = \rho + j\omega$ (onde $\rho$ é a taxa de magnitude e $\omega$ é a frequência angular), os autores derivam uma identidade exata em tempo contínuo:
   $$\Psi_C(\bar{x}) = |\bar{x}|^2 (2\omega^2 - \rho')$$
   Esta equação separa explicitamente o componente de energia rotacional do termo de translação associado à dinâmica de magnitude ($\rho'$).
3. Estimadores Propostos:
   • $\omega_{TV}$ (Variável no Tempo): Resolvendo a identidade para $\omega$, obtém-se um estimador que retém os termos de correção de dinâmica de magnitude ($\rho'$ e $\rho^2$). Isso fornece uma estimativa com correção de viés para condições onde a magnitude da tensão varia rapidamente.
   • $\omega_{TI}$ (Invariante no Tempo): Uma aproximação simplificada é derivada assumindo que a magnitude é constante ou varia lentamente, efetivamente negligenciando os termos de correção. Isso resulta em $\omega_{TI} = \sqrt{\Psi_C(\bar{x}) / (2|\bar{x}|^2)}$, sendo computacionalmente mais simples e menos sensível ao ruído, mas pode introduzir viés durante transientes significativos de magnitude.
4. Interpretação Geométrica: O estimador proposto alinha-se com a cinemática de frequência complexa e admite uma interpretação geométrica relacionada à curvatura da trajetória de tensão no plano $(v_\alpha, v_\beta)$, assumindo torção zero.

Principais Contribuições

• Expressão Inovadora: O artigo introduz uma expressão de FI baseada em CTKEO que torna explícitos os termos de curvatura do envelope. Isso corrige o viés inerente aos estimadores convencionais que negligenciam a dinâmica de magnitude.
• Correção de Viés: Diferente do ESA clássico, a formulação proposta ($\omega_{TV}$) não depende da aproximação de "envelope lento", tornando-se teoricamente exata para trajetórias de tensão bidimensionais suaves e não nulas em tempo contínuo.
• Consistência Geométrica: O estimador é consistente com a cinemática de frequência complexa e fornece uma interpretação geométrica da frequência sem a necessidade de desenrolar a fase (phase unwrapping) explicitamente.
• Aproximação Prática: O artigo fornece uma aproximação computacionalmente eficiente ($\omega_{TI}$) para cenários onde as variações de magnitude são lentas, oferecendo um compromisso entre precisão e sensibilidade ao ruído.

Resultos
Os métodos propostos foram validados através de dois estudos de caso:

1. Simulação EMT (Sistema IEEE 39-Bus): Simulações de uma falta trifásica mostraram que, sob condições equilibradas com ruído, os estimadores propostos ($\omega_{TV}$ e $\omega_{TI}$) coincidiram estreitamente com a frequência de referência geométrica ($\omega_v$). Em cenários desequilibrados, os estimadores propostos exibiram menores oscilações em comparação com a referência, sugerindo que são menos afetados por distorções de curvatura introduzidas por desequilíbrios.
2. Medições de Campo (Usina Fotovoltaica): Testes em dados reais de tensão de uma usina fotovoltaica na Espanha demonstraram que ambos os estimadores seguiram a tendência dominante da referência geométrica. Embora discrepâncias tenham aparecido em intervalos com alto ruído e sensibilidade à derivada (conforme $\omega_{TV}$ requer derivadas de segunda ordem), os resultados confirmaram que o $\omega_{TI}$ simplificado permanece praticamente próximo da estimativa completa variante no tempo sob condições operacionais realistas, devido à dinâmica inerentemente lenta das variações de magnitude.

A análise quantitativa em um sinal de amplitude modulada sintético (Tabela I) mostrou que o estimador variante no tempo ($\omega_{TV}$) reduziu significativamente o Erro Quadrático Médio (RMSE) e o Erro de Viés Médio (MBE) em comparação com o estimador invariante no tempo ($\omega_{TI}$), particularmente em frequências de amostragem mais baixas.

Significância e Alegações
Os autores afirmam que a principal significância deste trabalho reside na derivação de uma expressão de FI que contabiliza explicitamente a dinâmica de magnitude de tensão, corrigindo assim o viés encontrado em estimadores simplificados usados em sistemas de potência. O artigo afirma que a formulação proposta unifica interpretações de energia não linear e geométricas. Não se alega que o trabalho substitua os estimadores existentes em todos os contextos, mas destaca que o $\omega_{TV}$ oferece uma realização local precisa do componente angular da frequência complexa, enquanto o $\omega_{TI}$ serve como uma aproximação confiável e mais simples quando as dinâmicas de magnitude são negligenciáveis. O trabalho estabelece uma base teórica para futuras extensões para trajetórias tridimensionais (torção não nula) e validação mais ampla contra outras técnicas de estimativa de frequência.