Arbitrage and the Stability of AMM Price Tracking

Resumen Técnico: Arbitraje y la Estabilidad del Seguimiento de Precios en los Creadores de Mercado Automatizados (AMM)

Enunciado del Problema
Los Creadores de Mercado Automatizados (AMM) determinan los precios basándose en el estado del pool en lugar de un libro de órdenes limitado. Aunque la intuición económica predominante sugiere que los arbitrajistas corregirán las desviaciones entre los precios de los AMM y los precios de referencia externos, la literatura existente carece de una prueba rigurosa de que este mecanismo garantice la estabilidad a escala de bloque. En las cadenas de bloques, la corrección de precios no es continua; es discreta, sujeta al ordenamiento de las transacciones, retrasos, tarifas y posibles fallos. Además, en los pools de liquidez concentrada, la eficacia de la corrección depende del estado. La investigación actual se centra ya sea en aproximaciones de tiempo continuo, en beneficios de arbitraje aislados o en riesgos específicos de ejecución (MEV, frontrunning) sin unificar estos factores en un modelo de bucle cerrado que demuestre que el error de seguimiento permanece estable.

Metodología
Los autores modelan el proceso de seguimiento de precios de los AMM como un sistema estocástico de bucle cerrado que opera a nivel de bloque.

1. Definiciones de Estado:

   • $P_n$: Precio logarítmico de referencia antes del bloque $n$.
   • $\tilde{P}_n$: Precio logarítmico del AMM después del bloque $n$.
   • $x_n = P_n - \tilde{P}_{n-1}$: Error de seguimiento pre-ejecución (brecha observada por los arbitrajistas).
   • $z_n = P_n - \tilde{P}_n$: Error de seguimiento post-ejecución.
   • La dinámica sigue $x_{n+1} = z_n + w_{n+1}$, donde $w_n$ es una perturbación exógena.

2. Reducción de la Capa de Ejecución:
   En lugar de modelar el complejo juego de los buscadores y el ordenamiento de transacciones, los autores reducen la capa de ejecución a dos cantidades clave:

   • Umbral de zona muerta ($\bar{\gamma}$): Un límite medible que representa el radio máximo de "no comercio" debido a tarifas, deslizamiento y costos fijos.
   • Corrección Realizada ($C_n$): La reducción total exitosa en la magnitud del error entregada por el bloque.
   • Una regla de ejecución secuencial determina qué transacciones en un bloque tienen éxito basándose en si el error restante excede la banda residual ejecutable específica de la transacción.

3. Marco Teórico:

   • Supuestos: El modelo asume un kernel estocástico homogéneo en el tiempo para entornos de bloques y una "Condición de corrección de errores grandes". Esta condición postula que cuando la brecha es suficientemente grande, existe una probabilidad no nula ($p^*$) de que el bloque elimine al menos una fracción ($\lambda^*$) de la brecha excesiva.
   • Proposición 1: Proporciona un cálculo explícito para la "banda de no comercio" y el tamaño óptimo de arbitraje en un AMM de producto constante, demostrando cómo las tarifas y los costos fijos crean un umbral cuantitativo para una corrección rentable.
   • Proposición 2: Establece que el error post-ejecución está acotado por el error pre-ejecución menos la corrección realizada, limitado por la zona muerta.

4. Análisis de Estabilidad:
   Los autores emplean la teoría de Foster-Lyapunov para analizar la cadena de Markov de los errores de seguimiento. Construyen una función de Lyapunov $V(x) = e^{\alpha|x|}$ para demostrar que, bajo la condición de corrección de errores grandes, el sistema exhibe una deriva negativa fuera de un conjunto compacto.

Resultados Clave

• Teorema 1 (Ergodicidad Geométrica): Bajo los supuestos enunciados, el proceso de error de seguimiento $\{x_n\}$ es una cadena de Markov recurrente de Harris positiva que converge a una única medida de probabilidad invariante $\pi_x$ a una tasa geométrica. Esto demuestra que el seguimiento de precios del AMM es estable a largo plazo, siempre que las desviaciones grandes desencadenen correcciones de arbitraje confiables.
• Límites Explícitos: El artículo deriva límites de un paso explícitos que conectan la calidad del seguimiento con la liquidez y la calidad de la ejecución. Específicamente, la tasa de convergencia depende del producto de la fracción de corrección ($\lambda^*$) y la probabilidad de entrega ($p^*$).
• Calibración Empírica: Utilizando datos de la red principal de Ethereum (bloques 16800007–16803511), los autores construyen proxies empíricos para los parámetros del teorema:
  • Proxy de zona muerta ($\bar{\gamma}$): $\approx 3.82 \times 10^{-4}$.
  • Cuota de corrección de errores grandes ($\hat{\lambda}^*$): 0.50.
  • Probabilidad de entrega ($\hat{p}^*$): 72.9%.
  • Los datos confirman que las brechas grandes se corrigen con mayor frecuencia y profundidad que las brechas pequeñas.
• Validación por Simulación: Simulaciones reducidas impulsadas por estos parámetros empíricos demuestran que el sistema regresa rápidamente al tubo operativo después de shocks. Las estáticas comparativas muestran que aumentar la cuota de corrección o la probabilidad de entrega estrecha el seguimiento, mientras que mayores costos fijos o menor liquidez amplían el error de seguimiento.

Significado y Afirmaciones
La contribución principal del artículo es transformar la intuición económica básica de que "el arbitraje alinea los precios de los AMM" en una declaración de estabilidad cuantitativa con una interfaz de calibración manejable.

• Brecha Teórica Cubierta: Proporciona el primer modelo estocástico de bucle cerrado a escala de bloque que une la dinámica de los AMM, los incentivos de arbitraje y las restricciones de ejecución (tarifas, ordenamiento, fallos) para demostrar la estabilidad.
• Utilidad Práctica: Los autores no afirman una validación empírica aguda del teorema en sí. En cambio, demuestran que las cantidades requeridas por el teorema (zona muerta, probabilidad de corrección) son observables en la cadena y que las simulaciones impulsadas por estas cantidades observadas se comportan de manera consistente con las predicciones teóricas.
• Perspectiva del Mecanismo: A través de un ejemplo de producto constante, el artículo mapea explícitamente cómo las tarifas, los costos fijos de ejecución y la profundidad de las reservas determinan la banda económica de no comercio y el tamaño óptimo de la operación correctiva, ofreciendo una interfaz clara para interpretar cómo la liquidez y la fricción impactan la estabilidad de los precios.

En resumen, el trabajo establece que el seguimiento de precios de los AMM a escala de bloque es ergódico geométricamente si los incentivos de arbitraje son lo suficientemente fuertes para garantizar que, con suficiente probabilidad, las grandes desviaciones se corrijan parcialmente en cada bloque. Esta estabilidad depende de la interacción entre la profundidad de la liquidez, los costos de ejecución y la fiabilidad del mecanismo de corrección.