Arbitrage and the Stability of AMM Price Tracking

Resumo Técnico: Arbitragem e a Estabilidade do Rastreamento de Preços por AMM

Declaração do Problema
Os Criadores de Mercado Automatizados (AMMs) determinam preços com base no estado do pool, e não em um livro de ordens limitado. Embora a intuição econômica predominante sugira que os arbitristas corrigirão desvios entre os preços dos AMMs e os preços de referência externos, a literatura existente carece de uma prova rigorosa de que esse mecanismo garante estabilidade na escala de bloco. Em blockchains, a correção de preços não é contínua; é discreta, sujeita à ordenação de transações, atrasos, taxas e possíveis falhas. Além disso, em pools de liquidez concentrada, a eficácia da correção é dependente do estado. A pesquisa atual foca ou em aproximações de tempo contínuo, ou em lucros de arbitragem isolados, ou em riscos específicos de execução (MEV, frontrunning), sem unificar esses fatores em um modelo de malha fechada que prove que o erro de rastreamento permanece estável.

Metodologia
Os autores modelam o processo de rastreamento de preços do AMM como um sistema estocástico de malha fechada operando no nível de bloco.

1. Definições de Estado:

   • $P_n$: Preço de referência logarítmico antes do bloco $n$.
   • $\tilde{P}_n$: Preço logarítmico do AMM após o bloco $n$.
   • $x_n = P_n - \tilde{P}_{n-1}$: Erro de rastreamento pré-execução (lacuna vista pelos arbitristas).
   • $z_n = P_n - \tilde{P}_n$: Erro de rastreamento pós-execução.
   • A dinâmica segue $x_{n+1} = z_n + w_{n+1}$, onde $w_n$ é uma perturbação exógena.

2. Redução da Camada de Execução:
   Em vez de modelar o jogo complexo de buscadores e ordenação de transações, os autores reduzem a camada de execução a duas quantidades-chave:

   • Teto da zona morta ($\bar{\gamma}$): Um limite mensurável que representa o raio máximo de "não negociação" devido a taxas, deslizamento (slippage) e custos fixos.
   • Correção Realizada ($C_n$): A redução total bem-sucedida na magnitude do erro entregue pelo bloco.
   • Uma regra de execução sequencial determina quais transações em um bloco têm sucesso com base em se o erro restante excede a faixa residual executável específica da transação.

3. Estrutura Teórica:

   • Pressupostos: O modelo assume um kernel estocástico homogêneo no tempo para ambientes de bloco e uma "Condição de correção de erro grande". Esta condição postula que, quando a lacuna é suficientemente grande, há uma probabilidade não nula ($p^*$) de que o bloco removerá pelo menos uma fração ($\lambda^*$) da lacuna excedente.
   • Proposição 1: Fornece um cálculo explícito para a "faixa de não negociação" e o tamanho ótimo de arbitragem em um AMM de produto constante, demonstrando como taxas e custos fixos criam um limiar quantitativo para correção lucrativa.
   • Proposição 2: Estabelece que o erro pós-execução é limitado pelo erro pré-execução menos a correção realizada, limitado pelo teto da zona morta.

4. Análise de Estabilidade:
   Os autores empregam a teoria de Foster-Lyapunov para analisar a cadeia de Markov dos erros de rastreamento. Eles constroem uma função de Lyapunov $V(x) = e^{\alpha|x|}$ para provar que, sob a condição de correção de erro grande, o sistema exibe deriva negativa fora de um conjunto compacto.

Resultados Chave

• Teorema 1 (Ergodicidade Geométrica): Sob os pressupostos declarados, o processo de erro de rastreamento $\{x_n\}$ é uma cadeia de Markov recorrente de Harris positiva que converge para uma única medida de probabilidade invariante $\pi_x$ a uma taxa geométrica. Isso prova que o rastreamento de preços do AMM é estável a longo prazo, desde que grandes desvios acionem correções de arbitragem confiáveis.
• Limites Explícitos: O artigo deriva limites de um passo explícitos conectando a qualidade do rastreamento à liquidez e à qualidade da execução. Especificamente, a taxa de convergência depende do produto da fração de correção ($\lambda^*$) e da probabilidade de entrega ($p^*$).
• Calibração Empírica: Utilizando dados da mainnet do Ethereum (blocos 16800007–16803511), os autores constroem proxies empíricos para os parâmetros do teorema:
  • Proxy da zona morta ($\bar{\gamma}$): $\approx 3,82 \times 10^{-4}$.
  • Participação de correção de erro grande ($\hat{\lambda}^*$): 0,50.
  • Probabilidade de entrega ($\hat{p}^*$): 72,9%.
  • Os dados confirmam que grandes lacunas são corrigidas com mais frequência e profundidade do que pequenas lacunas.
• Validação por Simulação: Simulações reduzidas impulsionadas por esses parâmetros empíricos demonstram que o sistema retorna rapidamente ao tubo de operação após choques. As estáticas comparativas mostram que aumentar a participação de correção ou a probabilidade de entrega apertam o rastreamento, enquanto custos fixos mais altos ou liquidez mais baixa ampliam o erro de rastreamento.

Significado e Alegações
A contribuição primária do artigo é transformar a intuição econômica básica de que "a arbitragem alinha os preços dos AMMs" em uma declaração quantitativa de estabilidade com uma interface de calibração tratável.

• Lacuna Teórica Preenchida: Fornece o primeiro modelo estocástico de malha fechada em escala de bloco que une a dinâmica do AMM, os incentivos de arbitragem e as restrições de execução (taxas, ordenação, falha) para provar estabilidade.
• Utilidade Prática: Os autores não alegam uma validação empírica aguda do próprio teorema. Em vez disso, demonstram que as quantidades exigidas pelo teorema (zona morta, probabilidade de correção) são observáveis on-chain e que simulações impulsionadas por essas quantidades observadas comportam-se consistentemente com as previsões teóricas.
• Insight do Mecanismo: Através de um exemplo de produto constante, o artigo mapeia explicitamente como taxas, custos fixos de execução e profundidade de reserva determinam a faixa econômica de não negociação e o tamanho ótimo da operação corretiva, oferecendo uma interface clara para interpretar como a liquidez e o atrito impactam a estabilidade de preços.

Em resumo, o trabalho estabelece que o rastreamento de preços de AMM em escala de bloco é geometricamente ergódico se os incentivos de arbitragem forem fortes o suficiente para garantir que, com probabilidade suficiente, grandes desvios sejam parcialmente corrigidos em cada bloco. Essa estabilidade é contingente à interação entre profundidade de liquidez, custos de execução e a confiabilidade do mecanismo de correção.