Arbitrage and the Stability of AMM Price Tracking

Résumé technique : Arbitrage et stabilité du suivi des prix par les AMM

Énoncé du problème
Les Automated Market Makers (AMM) déterminent les prix en fonction de l'état du pool plutôt que d'un carnet d'ordres. Bien que l'intuition économique prédominante suggère que les arbitragistes corrigeront les écarts entre les prix des AMM et les prix de référence externes, la littérature existante manque d'une preuve rigoureuse que ce mécanisme garantit la stabilité à l'échelle du bloc. Sur les blockchains, la correction des prix n'est pas continue ; elle est discrète, soumise à l'ordre des transactions, aux délais, aux frais et aux échecs potentiels. De plus, dans les pools à liquidité concentrée, l'efficacité de la correction dépend de l'état. La recherche actuelle se concentre soit sur des approximations en temps continu, soit sur les profits d'arbitrage isolés, soit sur des risques d'exécution spécifiques (MEV, frontrunning), sans unifier ces facteurs dans un modèle en boucle fermée prouvant que l'erreur de suivi reste stable.

Méthodologie
Les auteurs modélisent le processus de suivi des prix par les AMM comme un système stochastique en boucle fermée opérant au niveau du bloc.

1. Définitions des états :

   • $P_n$ : Prix de référence logarithmique avant le bloc $n$.
   • $\tilde{P}_n$ : Prix logarithmique de l'AMM après le bloc $n$.
   • $x_n = P_n - \tilde{P}_{n-1}$ : Erreur de suivi pré-exécution (écart perçu par les arbitragistes).
   • $z_n = P_n - \tilde{P}_n$ : Erreur de suivi post-exécution.
   • La dynamique suit $x_{n+1} = z_n + w_{n+1}$, où $w_n$ est une perturbation exogène.

2. Réduction de la couche d'exécution :
   Au lieu de modéliser le jeu complexe des chercheurs et de l'ordre des transactions, les auteurs réduisent la couche d'exécution à deux grandeurs clés :

   • Plafond de zone morte ($\bar{\gamma}$) : Une borne mesurable représentant le rayon maximal « sans transaction » dû aux frais, au glissement et aux coûts fixes.
   • Correction réalisée ($C_n$) : La réduction totale réussie de l'amplitude de l'erreur délivrée par le bloc.
   • Une règle d'exécution séquentielle détermine quelles transactions dans un bloc réussissent, en fonction de savoir si l'erreur restante dépasse la bande résiduelle exécutable spécifique de la transaction.

3. Cadre théorique :

   • Hypothèses : Le modèle suppose un noyau stochastique homogène dans le temps pour les environnements de blocs et une « condition de correction des grandes erreurs ». Cette condition postule que lorsque l'écart est suffisamment grand, il existe une probabilité non nulle ($p^*$) que le bloc élimine au moins une fraction ($\lambda^*$) de l'écart excédentaire.
   • Proposition 1 : Fournit un calcul explicite de la « bande sans transaction » et de la taille optimale d'arbitrage dans un AMM à produit constant, démontrant comment les frais et les coûts fixes créent un seuil quantitatif pour une correction rentable.
   • Proposition 2 : Établit que l'erreur post-exécution est bornée par l'erreur pré-exécution moins la correction réalisée, plafonnée par la zone morte.

4. Analyse de stabilité :
   Les auteurs emploient la théorie de Foster-Lyapunov pour analyser la chaîne de Markov des erreurs de suivi. Ils construisent une fonction de Lyapunov $V(x) = e^{\alpha|x|}$ pour prouver que, sous la condition de correction des grandes erreurs, le système présente une dérive négative en dehors d'un ensemble compact.

Résultats clés

• Théorème 1 (Ergodicité géométrique) : Sous les hypothèses énoncées, le processus d'erreur de suivi $\{x_n\}$ est une chaîne de Markov récurrente de Harris positive qui converge vers une mesure de probabilité invariante unique $\pi_x$ à un taux géométrique. Cela prouve que le suivi des prix par les AMM est stable à long terme, à condition que les déviations importantes déclenchent des corrections d'arbitrage fiables.
• Bornes explicites : L'article dérive des bornes explicites en une étape reliant la qualité du suivi à la liquidité et à la qualité d'exécution. Plus précisément, le taux de convergence dépend du produit de la fraction de correction ($\lambda^*$) et de la probabilité de livraison ($p^*$).
• Calibration empirique : En utilisant des données du réseau principal d'Ethereum (blocs 16800007–16803511), les auteurs construisent des proxies empiriques pour les paramètres du théorème :
  • Proxy de zone morte ($\bar{\gamma}$) : $\approx 3,82 \times 10^{-4}$.
  • Part de correction des grandes erreurs ($\hat{\lambda}^*$) : 0,50.
  • Probabilité de livraison ($\hat{p}^*$) : 72,9 %.
  • Les données confirment que les grands écarts sont corrigés plus fréquemment et plus profondément que les petits écarts.
• Validation par simulation : Des simulations réduites pilotées par ces paramètres empiriques démontrent que le système revient rapidement au tube de fonctionnement après des chocs. Les statiques comparatives montrent que l'augmentation de la part de correction ou de la probabilité de livraison resserre le suivi, tandis que des coûts fixes plus élevés ou une liquidité plus faible élargissent l'erreur de suivi.

Portée et affirmations
La contribution principale de l'article est de transformer l'intuition économique de base selon laquelle « l'arbitrage aligne les prix des AMM » en une déclaration de stabilité quantitative dotée d'une interface de calibration traitable.

• Combler le vide théorique : Il fournit le premier modèle stochastique en boucle fermée à l'échelle du bloc qui relie la dynamique des AMM, les incitations à l'arbitrage et les contraintes d'exécution (frais, ordre, échec) pour prouver la stabilité.
• Utilité pratique : Les auteurs ne revendiquent pas une validation empirique précise du théorème lui-même. Ils démontrent plutôt que les grandeurs requises par le théorème (zone morte, probabilité de correction) sont observables sur la chaîne, et que les simulations pilotées par ces grandeurs observées se comportent de manière cohérente avec les prédictions théoriques.
• Insight mécanistique : Grâce à un exemple à produit constant, l'article cartographie explicitement comment les frais, les coûts d'exécution fixes et la profondeur des réserves déterminent la bande économique sans transaction et la taille optimale de la transaction corrective, offrant une interface claire pour interpréter comment la liquidité et les frictions impactent la stabilité des prix.

En résumé, ce travail établit que le suivi des prix des AMM à l'échelle du bloc est géométriquement ergodique si les incitations à l'arbitrage sont suffisamment fortes pour garantir que, avec une probabilité suffisante, les grandes déviations sont partiellement corrigées dans chaque bloc. Cette stabilité est conditionnée par l'interdépendance entre la profondeur de la liquidité, les coûts d'exécution et la fiabilité du mécanisme de correction.